СОДЕРЖАНИЕ    

Пояснительная записка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
5
Общая характеристика учебного предмета
«Математика». 5—9 классы . . . . . . . . . . . . . . . .    
—
Цели и особенности изучения учебного предмета
«Математика». 5—9 классы . . . . . . . . . . . . . . . .    
6
Место учебного предмета «Математика»
в учебном плане . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
8
Планируемые результаты освоения учебного предмета «Математика»
на уровне основного общего образования . . . . . . . . . .    

9
Личностные результаты    . . . . . . . . . . . . . . . . . .    —
Метапредметные результаты . . . . . . . . . . . . . . . .    11
Предметные результаты    . . . . . . . . . . . . . . . . . .    13
Примерная рабочая программа учебного курса
«Математика». 5—6 классы    . . . . . . . . . . . . . . . . .    
15
Цели изучения учебного курса    . . . . . . . . . . . . . .    —
Место учебного курса в учебном плане    . . . . . . . . .    17
Содержание учебного курса (по годам обучения) . . . .
Планируемые предметные результаты освоения Примерной рабочей программы курса
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    —

22
Тематическое планирование учебного курса
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
26
Примерная рабочая программа учебного курса
«Алгебра». 7—9 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
43
Цели изучения учебного курса    . . . . . . . . . . . . . .    —
Место учебного курса в учебном плане    . . . . . . . . .    44
Содержание учебного курса (по годам обучения) . . . .
Планируемые предметные результаты освоения Примерной рабочей программы курса
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    45

48
Тематическое планирование учебного курса
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
53
Примерная рабочая программа учебного курса
«Геометрия». 7—9 классы    . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
70
Цели изучения учебного курса    . . . . . . . . . . . . . .    —
Место учебного курса в учебном плане    . . . . . . . . .    71
МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    3
 
Содержание учебного курса (по годам обучения) . . . .
Планируемые предметные результаты освоения Примерной рабочей программы курса    72
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    74
Тематическое планирование учебного курса
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
77
Примерная рабочая программа учебного курса
«Вероятность и статистика». 7—9 классы . . . . . . . . .    
89
Цели изучения учебного курса    . . . . . . . . . . . . . .    —
Место учебного курса в учебном плане    . . . . . . . . .    90
Содержание учебного курса (по годам обучения) . . . .
Планируемые предметные результаты освоения Примерной рабочей программы курса
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    91

92
Тематическое планирование учебного курса
(по годам обучения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
95

4    Примерная рабочая программа
 
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
Примерная рабочая программа по математике для обучаю- щихся 5—9 классов разработана на основе Федерального го- сударственного образовательного стандарта основного общего образования с учётом и современных мировых требований, предъявляемых к математическому образованию, и традиций российского образования, которые обеспечивают овладение клю- чевыми компетенциями, составляющими основу для непрерыв- ного образования и саморазвития, а также целостность общекуль- турного, личностного и познавательного развития обучающихся. В рабочей программе учтены идеи и положения Концепции раз- вития математического образования в Российской Федерации. В эпоху цифровой трансформации всех сфер человеческой де- ятельности невозможно стать образованным современным чело- веком без базовой математической подготовки. Уже в школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин, а после школы реальной необходимостью становит- ся непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математиче- ской. Это обусловлено тем, что в наши дни растёт число про- фессий, связанных с непосредственным применением матема- тики: и в сфере экономики, и в бизнесе, и в технологических областях, и даже в гуманитарных сферах. Таким образом, круг школьников, для которых математика может стать значимым
предметом, расширяется.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются фундаментальные структуры нашего мира: пространственные формы и количественные отношения от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до до- статочно сложных, необходимых для развития научных и при- кладных идей. Без конкретных математических знаний затруд- нено понимание принципов устройства и использования совре- менной техники, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, мало- эффективна повседневная практическая деятельность. Каждо- му человеку в своей жизни приходится выполнять расчёты и составлять алгоритмы, находить и применять формулы, вла- деть практическими приёмами геометрических измерений и по- строений, читать информацию, представленную в виде таблиц,

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    5
 
диаграмм и графиков, жить в условиях неопределённости и по- нимать вероятностный характер случайных событий.
Одновременно с расширением сфер применения математики в современном обществе всё более важным становится матема- тический стиль мышления, проявляющийся в определённых умственных навыках. В процессе изучения математики в арсе- нал приёмов и методов мышления человека естественным об- разом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкре- тизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умоза- ключений, правила их конструирования раскрывают механизм логических построений, способствуют выработке умения фор- мулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике и в формировании алгоритмической компоненты мышления и воспитании умений действовать по заданным ал- горитмам, совершенствовать известные и конструировать но- вые. В процессе решения задач — основой учебной деятельно- сти на уроках математики — развиваются также творческая и прикладная стороны мышления.
Обучение математике даёт возможность развивать у обучаю- щихся точную, рациональную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые, символические, гра- фические средства для выражения суждений и наглядного их представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, представление о предмете и методах матема- тики, их отличий от методов других естественных и гуманитар- ных наук, об особенностях применения математики для реше- ния научных и прикладных задач. Таким образом, математиче- ское образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.
Изучение математики также способствует эстетическому вос- питанию человека, пониманию красоты и изящества математи- ческих рассуждений, восприятию геометрических форм, усвое- нию идеи симметрии.
ЦЕЛИ И ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«МАТЕМАТИКА». 59 КЛАССЫ
Приоритетными целями обучения математике в 5—9 классах являются:

6    Примерная рабочая программа
 
6 формирование центральных математических понятий (число, величина, геометрическая фигура, переменная, вероятность, функция), обеспечивающих преемственность и перспектив- ность математического образования обучающихся;
6 подведение обучающихся на доступном для них уровне к осознанию взаимосвязи математики и окружающего мира, понимание математики как части общей культуры человече- ства;
6 развитие интеллектуальных и творческих способностей обу- чающихся, познавательной активности, исследовательских умений, критичности мышления, интереса к изучению мате- матики;
6 формирование функциональной математической грамотно- сти: умения распознавать проявления математических поня- тий, объектов и закономерностей в реальных жизненных си- туациях и при изучении других учебных предметов, прояв- ления зависимостей и закономерностей, формулировать их на языке математики и создавать математические модели, применять освоенный математический аппарат для решения практико-ориентированных задач, интерпретировать и оце- нивать полученные результаты.
Основные линии содержания курса математики в 5—9 клас- сах: «Числа и вычисления», «Алгебра» («Алгебраические вы- ражения», «Уравнения и неравенства»), «Функции», «Геоме- трия» («Геометрические фигуры и их свойства», «Измерение геометрических величин»), «Вероятность и статистика». Дан- ные линии развиваются параллельно, каждая в соответствии с собственной логикой, однако не независимо одна от другой, а в тесном контакте и взаимодействии. Кроме этого, их объединяет логическая составляющая, традиционно присущая математике и пронизывающая все математические курсы и содержательные линии. Сформулированное в Федеральном государственном об- разовательном стандарте основного общего образования требова- ние «уметь оперировать понятиями: определение, аксиома, тео- рема, доказательство; умение распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний» относится ко всем курсам, а формирование логических умений распределяется по всем годам обучения на уровне основного общего образования. Содержание образования, соответствующее предметным ре- зультатам освоения Примерной рабочей программы, распреде- лённым по годам обучения, структурировано таким образом,

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    7
 
чтобы ко всем основным, принципиальным вопросам обучаю- щиеся обращались неоднократно, чтобы овладение математиче- скими понятиями и навыками осуществлялось последовательно и поступательно, с соблюдением принципа преемственности, а новые знания включались в общую систему математических представлений обучающихся, расширяя и углубляя её, образуя прочные множественные связи.
МЕСТО УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА» В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В соответствии с Федеральным государственным образова- тельным стандартом основного общего образования математика является обязательным предметом на данном уровне образова- ния. В 5—9 классах учебный предмет «Математика» традици- онно изучается в рамках следующих учебных курсов: в 5—6 клас- сах — курса «Математика», в 7—9 классах — курсов «Алгебра» (включая элементы статистики и теории вероятностей) и «Гео- метрия». Настоящей программой вводится самостоятельный учебный курс «Вероятность и статистика».
Настоящей программой предусматривается выделение в учебном плане на изучение математики в 5—6 классах 5 учеб- ных часов в неделю в течение каждого года обучения, в 7—9 клас- сах 6 учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, всего 952 учебных часа.
Тематическое планирование учебных курсов и рекомендуе- мое распределение учебного времени для изучения отдельных тем, предложенные в настоящей программе, надо рассматри- вать как примерные ориентиры в помощь составителю автор- ской рабочей программы и прежде всего учителю. Автор рабо- чей программы вправе увеличить или уменьшить предложен- ное число учебных часов на тему, чтобы углубиться в тематику, более заинтересовавшую учеников, или направить усилия на преодоление затруднений. Допустимо также локальное пере- распределение и перестановка элементов содержания внутри данного класса. Количество проверочных работ (тематический и итоговый контроль качества усвоения учебного материала) и их тип (самостоятельные и контрольные работы, тесты) остают- ся на усмотрение учителя. Также учитель вправе увеличить или уменьшить число учебных часов, отведённых в Примерной ра- бочей программе на обобщение, повторение, систематизацию знаний обучающихся. Единственным, но принципиально важ- ным критерием, является достижение результатов обучения, указанных в настоящей программе.

8    Примерная рабочая программа
 
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Освоение учебного предмета «Математика» должно обеспечи- вать достижение на уровне основного общего образования сле- дующих личностных, метапредметных и предметных образова- тельных результатов:

ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного пред- мета «Математика» характеризуются:
Патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики, ценностным отношением к достижениям россий- ских математиков и российской математической школы, к ис- пользованию этих достижений в других науках и прикладных сферах.
Гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реа- лизации его прав, представлением о математических основах функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.); готовностью к обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений науки, осознанием важности мораль- но-этических принципов в деятельности учёного.
Трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических за- дач математической направленности, осознанием важности ма- тематического образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной деятельности и развитием необхо- димых умений; осознанным выбором и построением индивиду- альной траектории образования и жизненных планов с учётом личных интересов и общественных потребностей.
Эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприя- тию математических объектов, задач, решений, рассуждений; умению видеть математические закономерности в искусстве.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    9
 
Ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему науч- ных представлений об основных закономерностях развития че- ловека, природы и общества, пониманием математической на- уки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации; овладением языком математики и математической культурой как средством позна- ния мира; овладением простейшими навыками исследователь- ской деятельности.
Физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоцио- нального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое пи- тание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность); сформированностью навыка рефлек- сии, признанием своего права на ошибку и такого же права другого человека.
Экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для ре- шения задач в области сохранности окружающей среды, плани- рования поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды; осознанием глобального характера эколо- гических проблем и путей их решения.
Личностные результаты, обеспечивающие адаптацию обучающегося к из- меняющимся условиям социальной и природной среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, по- вышению уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других людей, при- обретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явле- ниях, в том числе ранее не известных, осознавать дефициты собственных знаний и компетентностей, планировать своё раз- витие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, восприни- мать стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать принимаемые решения и действия, формули- ровать и оценивать риски и последствия, формировать опыт.

10    Примерная рабочая программа
 
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета «Математика» характеризуются овладением универ- сальными познавательными действиями, универсальными коммуникативными действиями и универсальными регу- лятивными действиями.
1)    Универсальные познавательные действия обеспечива- ют формирование базовых когнитивных процессов обучаю- щихся (освоение методов познания окружающего мира; при- менение логических, исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:
6 выявлять и характеризовать существенные признаки матема- тических объектов, понятий, отношений между понятиями; формулировать определения понятий; устанавливать суще- ственный признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
6 воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и об- щие; условные;
6 выявлять математические закономерности, взаимосвязи и про- тиворечия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления закономерностей и про- тиворечий;
6 делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
6 разбирать доказательства математических утверждений (пря- мые и от противного), проводить самостоятельно несложные доказательства математических фактов, выстраивать аргу- ментацию, приводить примеры и контрпримеры; обосновы- вать собственные рассуждения;
6 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать не- сколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
6 использовать вопросы как исследовательский инструмент по- знания; формулировать вопросы, фиксирующие противоре- чие, проблему, самостоятельно устанавливать искомое и дан- ное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    11
 
6 проводить по самостоятельно составленному плану неслож- ный эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей математического объекта, зависимостей объек- тов между собой;
6 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по ре- зультатам проведённого наблюдения, исследования, оцени- вать достоверность полученных результатов, выводов и обоб- щений;
6 прогнозировать возможное развитие процесса, а также вы- двигать предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
6 выявлять недостаточность и избыточность информации, дан- ных, необходимых для решения задачи;
6 выбирать, анализировать, систематизировать и интерпрети- ровать информацию различных видов и форм представления;
6 выбирать форму представления информации и иллюстриро- вать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графи- кой и их комбинациями;
6 оценивать надёжность информации по критериям, предло- женным учителем или сформулированным самостоятельно.
2)    Универсальные коммуникативные действия обеспечи- вают сформированность социальных навыков обучающихся.
Общение:
6 воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения; ясно, точно, грамотно выра- жать свою точку зрения в устных и письменных текстах, да- вать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
6 в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждае- мой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать раз- личие и сходство позиций; в корректной форме формулиро- вать разногласия, свои возражения;
6 представлять результаты решения задачи, эксперимента, ис- следования, проекта; самостоятельно выбирать формат высту- пления с учётом задач презентации и особенностей аудитории.
Сотрудничество:
6 понимать и использовать преимущества командной и инди- видуальной работы при решении учебных математических

12    Примерная рабочая программа
 
задач; принимать цель совместной деятельности, планиро- вать организацию совместной работы, распределять виды ра- бот, договариваться, обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения нескольких людей;
6 участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями, мозговые штурмы и др.); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками взаимодей- ствия.
3)    Универсальные регулятивные действия обеспечивают формирование смысловых установок и жизненных навыков личности.
Самоорганизация:
6 самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать способ решения с учётом имеющих- ся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информа- ции.
Самоконтроль:
6 владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
6 предвидеть трудности, которые могут возникнуть при реше- нии задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок, выявленных труд- ностей;
6 оценивать соответствие результата деятельности поставлен- ной цели и условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели, находить ошибку, давать оценку приоб- ретённому опыту.

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения Примерной рабочей про- граммы по математике представлены по годам обучения в сле- дующих разделах программы в рамках отдельных курсов: в 5—6 классах — курса «Математика», в 7—9 классах — курсов
«Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика».
Развитие логических представлений и навыков логического мышления осуществляется на протяжении всех лет обучения в основной школе в рамках всех названных курсов. Предполага-

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    13
 
ется, что выпускник основной школы сможет строить высказы- вания и отрицания высказываний, распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и контрпримеры, овладеет понятиями: определение, аксиома, теорема, доказа- тельство — и научится использовать их при выполнении учеб- ных и внеучебных задач.

14    Примерная рабочая программа
 
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«МАТЕМАТИКА». 56 КЛАССЫ

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Приоритетными целями обучения математике в 5—6 классах являются:
6 продолжение формирования основных математических поня- тий (число, величина, геометрическая фигура), обеспечиваю- щих преемственность и перспективность математического об- разования обучающихся;
6 развитие интеллектуальных и творческих способностей обу- чающихся, познавательной активности, исследовательских умений, интереса к изучению математики;
6 подведение обучающихся на доступном для них уровне к осознанию взаимосвязи математики и окружающего мира;
6 формирование функциональной математической грамотно- сти: умения распознавать математические объекты в реаль- ных жизненных ситуациях, применять освоенные умения для решения практико-ориентированных задач, интерпрети- ровать полученные результаты и оценивать их на соответ- ствие практической ситуации.

Основные линии содержания курса математики в 5—6 клас- сах — арифметическая и геометрическая, которые развиваются параллельно, каждая в соответствии с собственной логикой, однако, не независимо одна от другой, а в тесном контакте и взаимодействии. Также в курсе происходит знакомство с эле- ментами алгебры и описательной статистики.
Изучение арифметического материала начинается со систе- матизации и развития знаний о натуральных числах, полу- ченных в начальной школе. При этом совершенствование вы- числительной техники и формирование новых теоретических знаний сочетается с развитием вычислительной культуры, в частности с обучением простейшим приёмам прикидки и оцен- ки результатов вычислений. Изучение натуральных чисел про- должается в 6 классе знакомством с начальными понятиями теории делимости.
Другой крупный блок в содержании арифметической линии — это дроби. Начало изучения обыкновенных и десятичных дро- бей отнесено к 5 классу. Это первый этап в освоении дробей, когда происходит знакомство с основными идеями, понятиями

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    15
 
темы. При этом рассмотрение обыкновенных дробей в полном объёме предшествует изучению десятичных дробей, что целесо- образно с точки зрения логики изложения числовой линии, когда правила действий с десятичными дробями можно обосно- вать уже известными алгоритмами выполнения действий с обыкновенными дробями. Знакомство с десятичными дробями расширит возможности для понимания обучающимися при- кладного применения новой записи при изучении других пред- метов и при практическом использовании. К 6 классу отнесён второй этап в изучении дробей, где происходит совершенство- вание навыков сравнения и преобразования дробей, освоение новых вычислительных алгоритмов, оттачивание техники вы- числений, в том числе значений выражений, содержащих и обыкновенные, и десятичные дроби, установление связей меж- ду ними, рассмотрение приёмов решения задач на дроби. В на- чале 6 класса происходит знакомство с понятием процента.
Особенностью изучения положительных и отрицательных чи- сел является то, что они также могут рассматриваться в несколь- ко этапов. В 6 классе в начале изучения темы «Положительные и отрицательные числа» выделяется подтема «Целые числа», в рамках которой знакомство с отрицательными числами и дей- ствиями с положительными и отрицательными числами проис- ходит на основе содержательного подхода. Это позволяет на до- ступном уровне познакомить учащихся практически со всеми основными понятиями темы, в том числе и с правилами знаков при выполнении арифметических действий. Изучение рацио- нальных чисел на этом не закончится, а будет продолжено в курсе алгебры 7 класса, что станет следующим проходом всех принципиальных вопросов, тем самым разделение трудностей облегчает восприятие материала, а распределение во времени способствует прочности приобретаемых навыков.
При обучении решению текстовых задач в 5—6 классах ис- пользуются арифметические приёмы решения. Текстовые задачи, решаемые при отработке вычислительных навыков в 5—6 классах, рассматриваются задачи следующих видов: задачи на движение, на части, на покупки, на работу и произ- водительность, на проценты, на отношения и пропорции. Кро- ме того, обучающиеся знакомятся с приёмами решения задач перебором возможных вариантов, учатся работать с информа- цией, представленной в форме таблиц или диаграмм.
В Примерной рабочей программе предусмотрено формирова- ние пропедевтических алгебраических представлений. Буква

16    Примерная рабочая программа
 
как символ некоторого числа в зависимости от математического контекста вводится постепенно. Буквенная символика широко используется прежде всего для записи общих утверждений и предложений, формул, в частности для вычисления геометри- ческих величин, в качестве «заместителя» числа.
В курсе «Математики» 5—6 классов представлена наглядная геометрия, направленная на развитие образного мышления, пространственного воображения, изобразительных умений. Это важный этап в изучении геометрии, который осуществляется на наглядно-практическом уровне, опирается на наглядно-об- разное мышление обучающихся. Большая роль отводится прак- тической деятельности, опыту, эксперименту, моделированию. Обучающиеся знакомятся с геометрическими фигурами на пло- скости и в пространстве, с их простейшими конфигурациями, учатся изображать их на нелинованной и клетчатой бумаге, рассматривают их простейшие свойства. В процессе изучения наглядной геометрии знания, полученные обучающимися в на- чальной школе, систематизируются и расширяются.

МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 5—6 классах изучается интегри- рованный предмет «Математика», который включает арифме- тический материал и наглядную геометрию, а также пропедев- тические сведения из алгебры, элементы логики и начала опи- сательной статистики.
Учебный план на изучение математики в 5—6 классах отво- дит не менее 5 учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, всего не менее 340 учебных часов.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
5 класс
Натуральные числа и нуль
Натуральное число. Ряд натуральных чисел. Число 0. Изо- бражение натуральных чисел точками на координатной (число- вой) прямой.
Позиционная система счисления. Римская нумерация как пример непозиционной системы счисления. Десятичная систе- ма счисления.
Сравнение натуральных чисел, сравнение натуральных чисел с нулём. Способы сравнения. Округление натуральных чисел.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    17
 
Сложение натуральных чисел; свойство нуля при сложении. Вычитание как действие, обратное сложению. Умножение на- туральных чисел; свойства нуля и единицы при умножении. Деление как действие, обратное умножению. Компоненты дей- ствий, связь между ними. Проверка результата арифметичес- кого действия. Переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения и умножения, распределительное свойство (закон) умножения.
Использование букв для обозначения неизвестного компо- нента и записи свойств арифметических действий.
Делители и кратные числа, разложение на множители. Про- стые и составные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9. Деление с остатком.
Степень с натуральным показателем. Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.
Числовое выражение. Вычисление значений числовых вы- ражений; порядок выполнения действий. Использование при вычислениях переместительного и сочетательного свойств (законов) сложения и умножения, распределительного свойства умножения.
Дроби
Представление о дроби как способе записи части величины. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Сме- шанная дробь; представление смешанной дроби в виде непра- вильной дроби и выделение целой части числа из неправильной дроби. Изображение дробей точками на числовой прямой. Ос- новное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дроби к новому знаменателю. Сравнение дробей.
Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей; взаимно-обратные дроби. Нахождение части целого и целого по его части.
Десятичная запись дробей. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной. Изображение десятичных дробей точка- ми на числовой прямой. Сравнение десятичных дробей.
Арифметические действия с десятичными дробями. Округле- ние десятичных дробей.
Решение текстовых задач
Решение текстовых задач арифметическим способом. Реше- ние логических задач. Решение задач перебором всех возмож- ных вариантов. Использование при решении задач таблиц и схем.

18    Примерная рабочая программа
 
Решение задач, содержащих зависимости, связывающие ве- личины: скорость, время, расстояние; цена, количество, стои- мость. Единицы измерения: массы, объёма, цены; расстояния, времени, скорости. Связь между единицами измерения каждой величины.
Решение основных задач на дроби.
Представление данных в виде таблиц, столбчатых диаграмм.
Наглядная геометрия
Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, окруж- ность, круг. Угол. Прямой, острый, тупой и развёрнутый углы.
Длина отрезка, метрические единицы длины. Длина лома- ной, периметр многоугольника. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
Наглядные представления о фигурах на плоскости: много- угольник; прямоугольник, квадрат; треугольник, о равенстве фигур.
Изображение фигур, в том числе на клетчатой бумаге. По- строение конфигураций из частей прямой, окружности на не- линованной и клетчатой бумаге. Использование свойств сторон и углов прямоугольника, квадрата.
Площадь прямоугольника и многоугольников, составленных из прямоугольников, в том числе фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Единицы измерения площади.
Наглядные представления о пространственных фигурах: пря- моугольный параллелепипед, куб, многогранники. Изображе- ние простейших многогранников. Развёртки куба и параллеле- пипеда. Создание моделей многогранников (из бумаги, прово- локи, пластилина и др.).
Объём прямоугольного параллелепипеда, куба. Единицы из- мерения объёма.

6 класс
Натуральные числа
Арифметические действия с многозначными натуральными числами. Числовые выражения, порядок действий, использо- вание скобок. Использование при вычислениях переместитель- ного и сочетательного свойств сложения и умножения, распре- делительного свойства умножения. Округление натуральных чисел.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    19
 
Делители и кратные числа; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Делимость суммы и произведения. Деление с остатком.
Дроби
Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей. Сравнение и упорядочивание дробей. Решение задач на нахождение части от целого и целого по его части. Дробное чис- ло как результат деления. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и возможность представления обык- новенной дроби в виде десятичной. Десятичные дроби и метри- ческая система мер. Арифметические действия и числовые вы- ражения с обыкновенными и десятичными дробями.
Отношение. Деление в данном отношении. Масштаб, пропор- ция. Применение пропорций при решении задач.
Понятие процента. Вычисление процента от величины и ве- личины по её проценту. Выражение процентов десятичными дробями. Решение задач на проценты. Выражение отношения величин в процентах.
Положительные и отрицательные числа
Положительные и отрицательные числа. Целые числа. Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля числа. Изобра- жение чисел на координатной прямой. Числовые промежутки. Сравнение чисел. Арифметические действия с положитель-
ными и отрицательными числами.
Прямоугольная система координат на плоскости. Координа- ты точки на плоскости, абсцисса и ордината. Построение точек и фигур на координатной плоскости.
Буквенные выражения
Применение букв для записи математических выражений и предложений. Свойства арифметических действий. Буквенные выражения и числовые подстановки. Буквенные равенства, на- хождение неизвестного компонента. Формулы; формулы пери- метра и площади прямоугольника, квадрата, объёма паралле- лепипеда и куба.
Решение текстовых задач
Решение текстовых задач арифметическим способом. Реше- ние логических задач. Решение задач перебором всех возмож- ных вариантов.
Решение задач, содержащих зависимости, связывающих ве- личины: скорость, время, расстояние; цена, количество, стои-

20    Примерная рабочая программа
 
мость; производительность, время, объём работы. Единицы из- мерения: массы, стоимости; расстояния, времени, скорости. Связь между единицами измерения каждой величины.
Решение задач, связанных с отношением, пропорционально- стью величин, процентами; решение основных задач на дроби и проценты.
Оценка и прикидка, округление результата. Составление буквенных выражений по условию задачи.
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Столб- чатые диаграммы: чтение и построение. Чтение круговых диа- грамм.
Наглядная геометрия
Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, четырёх- угольник, треугольник, окружность, круг.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости, парал- лельные прямые, перпендикулярные прямые. Измерение рас- стояний: между двумя точками, от точки до прямой; длина маршрута на квадратной сетке.
Измерение и построение углов с помощью транспортира. Ви- ды треугольников: остроугольный, прямоугольный, тупоуголь- ный; равнобедренный, равносторонний. Четырёхугольник, примеры четырёхугольников. Прямоугольник, квадрат: ис- пользование свойств сторон, углов, диагоналей. Изображение геометрических фигур на нелинованной бумаге с использовани- ем циркуля, линейки, угольника, транспортира. Построения на клетчатой бумаге.
Периметр многоугольника. Понятие площади фигуры; еди- ницы измерения площади. Приближённое измерение площади фигур, в том числе на квадратной сетке. Приближённое изме- рение длины окружности, площади круга.
Симметрия: центральная, осевая и зеркальная симметрии.
Построение симметричных фигур.
Наглядные представления о пространственных фигурах: параллелепипед, куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар и сфера. Изображение пространственных фигур. Примеры раз- вёрток многогранников, цилиндра и конуса. Создание моделей пространственных фигур (из бумаги, проволоки, пластилина и др.).
Понятие объёма; единицы измерения объёма. Объём прямо- угольного параллелепипеда, куба.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    21
 
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Математика» в 5—6 классах основ- ной школы должно обеспечивать достижение следующих пред- метных образовательных результатов:
5 класс
Числа и вычисления
6 Понимать и правильно употреблять термины, связанные с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями.
6 Сравнивать и упорядочивать натуральные числа, сравнивать в простейших случаях обыкновенные дроби, десятичные дроби.
6 Соотносить точку на координатной (числовой) прямой с соот- ветствующим ей числом и изображать натуральные числа точками на координатной (числовой) прямой.
6 Выполнять арифметические действия с натуральными числа- ми, с обыкновенными дробями в простейших случаях.
6 Выполнять проверку, прикидку результата вычислений.
6 Округлять натуральные числа.
Решение текстовых задач
6 Решать текстовые задачи арифметическим способом и с по- мощью организованного конечного перебора всех возможных вариантов.
6 Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие ве- личины: скорость, время, расстояние; цена, количество, сто- имость.
6 Использовать краткие записи, схемы, таблицы, обозначения при решении задач.
6 Пользоваться основными единицами измерения: цены, массы; расстояния, времени, скорости; выражать одни единицы вели- чины через другие.
6 Извлекать, анализировать, оценивать информацию, пред- ставленную в таблице, на столбчатой диаграмме, интерпре- тировать представленные данные, использовать данные при решении задач.
Наглядная геометрия
6 Пользоваться геометрическими понятиями: точка, прямая, отрезок, луч, угол, многоугольник, окружность, круг.
6 Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму изученных геометрических фигур.

22    Примерная рабочая программа
 
6 Использовать терминологию, связанную с углами: вершина сторона; с многоугольниками: угол, вершина, сторона, диа- гональ; с окружностью: радиус, диаметр, центр.
6 Изображать изученные геометрические фигуры на нелино- ванной и клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки.
6 Находить длины отрезков непосредственным измерением с помощью линейки, строить отрезки заданной длины; строить окружность заданного радиуса.
6 Использовать свойства сторон и углов прямоугольника, ква- драта для их построения, вычисления площади и периметра.
6 Вычислять периметр и площадь квадрата, прямоугольника, фигур, составленных из прямоугольников, в том числе фи- гур, изображённых на клетчатой бумаге.
6 Пользоваться основными метрическими единицами измере- ния длины, площади; выражать одни единицы величины че- рез другие.
6 Распознавать параллелепипед, куб, использовать терминоло- гию: вершина, ребро грань, измерения; находить измерения параллелепипеда, куба.
6 Вычислять объём куба, параллелепипеда по заданным изме- рениям, пользоваться единицами измерения объёма.
6 Решать несложные задачи на измерение геометрических ве- личин в практических ситуациях.
6 класс
Числа и вычисления
6 Знать и понимать термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи, переходить (если это возможно) от одной формы записи числа к другой.
6 Сравнивать и упорядочивать целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, сравнивать числа одного и разных знаков.
6 Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифме- тические действия с натуральными и целыми числами, обык- новенными и десятичными дробями, положительными и от- рицательными числами.
6 Вычислять значения числовых выражений, выполнять при- кидку и оценку результата вычислений; выполнять преобра- зования числовых выражений на основе свойств арифмети- ческих действий.
6 Соотносить точку на координатной прямой с соответствую- щим ей числом и изображать числа точками на координатной прямой, находить модуль числа.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    23
 
6 Соотносить точки в прямоугольной системе координат с ко- ординатами этой точки.
6 Округлять целые числа и десятичные дроби, находить при- ближения чисел.
Числовые и буквенные выражения
6 Понимать и употреблять термины, связанные с записью сте- пени числа, находить квадрат и куб числа, вычислять значе- ния числовых выражений, содержащих степени.
6 Пользоваться признаками делимости, раскладывать нату- ральные числа на простые множители.
6 Пользоваться масштабом, составлять пропорции и отношения. 6 Использовать буквы для обозначения чисел при записи мате- матических выражений, составлять буквенные выражения и формулы, находить значения буквенных выражений, осу-
ществляя необходимые подстановки и преобразования.
6 Находить неизвестный компонент равенства.
Решение текстовых задач
6 Решать многошаговые текстовые задачи арифметическим способом.
6 Решать задачи, связанные с отношением, пропорционально- стью величин, процентами; решать три основные задачи на дроби и проценты.
6 Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие ве- личины: скорость, время, расстояние, цена, количество, сто- имость; производительность, время, объёма работы, исполь- зуя арифметические действия, оценку, прикидку; пользо- ваться единицами измерения соответствующих величин.
6 Составлять буквенные выражения по условию задачи.
6 Извлекать информацию, представленную в таблицах, на ли- нейной, столбчатой или круговой диаграммах, интерпретиро- вать представленные данные; использовать данные при реше- нии задач.
6 Представлять информацию с помощью таблиц, линейной и столбчатой диаграмм.
Наглядная геометрия
6 Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму изученных геометрических плоских и пространствен- ных фигур, примеры равных и симметричных фигур.
6 Изображать с помощью циркуля, линейки, транспортира на нелинованной и клетчатой бумаге изученные плоские геоме- трические фигуры и конфигурации, симметричные фигуры.

24    Примерная рабочая программа
 
6 Пользоваться геометрическими понятиями: равенство фигур, симметрия; использовать терминологию, связанную с симме- трией: ось симметрии, центр симметрии.
6 Находить величины углов измерением с помощью транспор- тира, строить углы заданной величины, пользоваться при решении задач градусной мерой углов; распознавать на чер- тежах острый, прямой, развёрнутый и тупой углы.
6 Вычислять длину ломаной, периметр многоугольника, поль- зоваться единицами измерения длины, выражать одни еди- ницы измерения длины через другие.
6 Находить, используя чертёжные инструменты, расстояния: между двумя точками, от точки до прямой, длину пути на квадратной сетке.
6 Вычислять площадь фигур, составленных из прямоугольни- ков, использовать разбиение на прямоугольники, на равные фигуры, достраивание до прямоугольника; пользоваться ос- новными единицами измерения площади; выражать одни единицы измерения площади через другие.
6 Распознавать на моделях и изображениях пирамиду, конус, цилиндр, использовать терминологию: вершина, ребро, грань, основание, развёртка.
6 Изображать на клетчатой бумаге прямоугольный паралле- лепипед.
6 Вычислять объём прямоугольного параллелепипеда, куба, пользоваться основными единицами измерения объёма; вы- ражать одни единицы измерения объёма через другие.
6 Решать несложные задачи на нахождение геометрических ве- личин в практических ситуациях.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    25
 
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
5    класс (не менее 170 ч)

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Натуральные числа. Действия с натуральными числами
(43 ч)    Десятичная система счисле- ния. Ряд натуральных чисел. Натуральный ряд. Число 0. Натуральные числа на коор- динатной прямой. Сравнение, округление натуральных чисел.
Арифметические действия с натуральными числами. Свой- ства нуля при сложении и умножении, свойства единицы при умножении. Перемести- тельное и сочетательное свой- ства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.
Делители и кратные числа, раз- ложение числа на множители. Деление с остатком. Простые и составные числа. Признаки де- лимости на 2, 5, 10, 3, 9.
Степень с натуральным пока- зателем.    Читать, записывать, сравнивать натуральные числа; предлагать и обсуждать способы упорядочивания чисел.
Изображать координатную прямую, отмечать числа точками на координатной прямой, находить коорди- наты точки.
Исследовать свойства натурального ряда, чисел 0 и 1 при сложении и умножении.
Использовать правило округления натуральных чи- сел.
Выполнять арифметические действия с натуральны- ми числами, вычислять значения числовых выраже- ний со скобками и без скобок.
Записывать произведение в виде степени, читать степени, использовать терминологию (основание, показатель), вычислять значения степеней.
Выполнять прикидку и оценку значений числовых выражений, предлагать и применять приёмы про- верки вычислений.
Использовать при вычислениях переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, рас- пределительное свойство умножения; формулировать и применять правила преобразования числовых вы- ражений на основе свойств арифметических действий.
 

    Числовые выражения; поря- док действий.
Решение текстовых задач на все арифметические действия, на движение и покупки    Исследовать числовые закономерности, выдвигать и обосновывать гипотезы, формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого исследования. Формулировать определения делителя и кратного, называть делители и кратные числа; распознавать простые и составные числа; формулировать и приме- нять признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10; применять алгоритм разложения числа на простые множители; находить остатки от деления и неполное частное.
Распознавать истинные и ложные высказывания о натуральных числах, приводить примеры и контр- примеры, строить высказывания и отрицания вы- сказываний о свойствах натуральных чисел.
Конструировать математические предложения с по- мощью связок «и», «или», «если…, то…».
Решать текстовые задачи арифметическим способом, использовать зависимости между величинами (ско- рость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.): анализировать и осмысливать текст задачи, переформулировать условие, извлекать необходимые данные, устанавливать зависимости между величина- ми, строить логическую цепочку рассуждений.
Моделировать ход решения задачи с помощью ри- сунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные реше- ния, записи решений текстовых задач.
Критически оценивать полученный результат, осу- ществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответ- ствие условию, находить ошибки.
Решать задачи с помощью перебора всех возможных вариантов.
Знакомиться с историей развития арифметики
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Наглядная гео- метрия. Линии на плоскости (12 ч)    Точка, прямая, отрезок, луч. Ломаная. Измерение длины отрезка, метрические единицы измерения длины. Окружность и круг.
Практическая работа «Постро- ение узора из окружностей».
Угол. Прямой, острый, тупой и развёрнутый углы. Измере- ние углов.
Практическая работа «Постро- ение углов»    Распознавать на чертежах, рисунках, описывать, ис- пользуя терминологию, и изображать с помощью чертёжных инструментов: точку, прямую, отрезок, луч, угол, ломаную, окружность.
Распознавать, приводить примеры объектов реаль- ного мира, имеющих форму изученных фигур, оце- нивать их линейные размеры.
Использовать линейку и транспортир как инструмен- ты для построения и измерения: измерять длину от- резка, величину угла; строить отрезок заданной длины, угол, заданной величины; откладывать циркулем рав- ные отрезки, строить окружность заданного радиуса. Изображать конфигурации геометрических фигур из отрезков, окружностей, их частей на нелинованной и клетчатой бумаге; предлагать, описывать и обсуж- дать способы, алгоритмы построения.
Распознавать и изображать на нелинованной и клет- чатой бумаге прямой, острый, тупой, развёрнутый углы; сравнивать углы.
Вычислять длины отрезков, ломаных.
Понимать и использовать при решении задач зави- симости между единицами метрической системы мер; знакомиться с неметрическими системами мер; выражать длину в различных единицах измерения. Исследовать фигуры и конфигурации, используя цифровые ресурсы
 

Обыкновенные дроби
(48 ч)    Дробь. Правильные и непра- вильные дроби. Основное свой- ство дроби. Сравнение дробей.
Сложение и вычитание обык- новенных дробей. Смешанная дробь. Умножение и деление обыкновенных дробей; взаим- но-обратные дроби.
Решение текстовых задач, со- держащих дроби. Основные за- дачи на дроби.
Применение букв для записи математических выражений и предложений    Моделировать в графической, предметной форме, с помощью компьютера понятия и свойства, связан- ные с обыкновенной дробью.
Читать и записывать, сравнивать обыкновенные дроби, предлагать, обосновывать и обсуждать спосо- бы упорядочивания дробей.
Изображать обыкновенные дроби точками на коор- динатной прямой; использовать координатную пря- мую для сравнения дробей.
Формулировать, записывать с помощью букв основ- ное свойство обыкновенной дроби; использовать ос- новное свойство дроби для сокращения дробей и при- ведения дроби к новому знаменателю.
Представлять смешанную дробь в виде неправиль- ной и выделять целую часть числа из неправильной дроби.
Выполнять арифметические действия с обыкновен- ными дробями; применять свойства арифметических действий для рационализации вычислений.
Выполнять прикидку и оценку результата вычисле- ний; предлагать и применять приёмы проверки вы- числений.
Проводить исследования свойств дробей, опираясь на числовые эксперименты (в том числе с помощью компьютера).
Распознавать истинные и ложные высказывания о дробях, приводить примеры и контрпримеры, стро- ить высказывания и отрицания высказываний.
Решать текстовые задачи, содержащие дробные дан- ные, и задачи на нахождение части целого и целого по его части; выявлять их сходства и различия.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Моделировать ход решения задачи с помощью ри- сунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные реше- ния, записи решений текстовых задач.
Критически оценивать полученный результат, осу- ществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответ- ствие условию, находить ошибки.
Знакомиться с историей развития арифметики
Наглядная геометрия. Многоугольники (10 ч)    Многоугольники. Четырёх- угольник, прямоугольник, квадрат.
Практическая работа «Постро- ение прямоугольника с задан- ными сторонами на нелино- ванной бумаге».
Треугольник.
Площадь и периметр прямо- угольника и многоугольников, составленных из прямоуголь- ников, единицы измерения площади. Периметр много- угольника    Описывать, используя терминологию, изображать с помощью чертёжных инструментов и от руки, моде- лировать из бумаги многоугольники.
Приводить примеры объектов реального мира, имею- щих форму многоугольника, прямоугольника, ква- драта, треугольника, оценивать их линейные размеры. Вычислять: периметр треугольника, прямоугольни- ка, многоугольника; площадь прямоугольника, ква- драта.
Изображать остроугольные, прямоугольные и тупо- угольные треугольники.
Строить на нелинованной и клетчатой бумаге ква- драт и прямоугольник с заданными длинами сторон. Исследовать свойства прямоугольника, квадрата пу- тём эксперимента, наблюдения, измерения, модели- рования; сравнивать свойства квадрата и прямо- угольника.
 

        Конструировать математические предложения с по- мощью связок «некоторый», «любой». Распознавать истинные и ложные высказывания о многоугольни- ках, приводить примеры и контрпримеры.
Исследовать зависимость площади квадрата от дли- ны его стороны.
Использовать свойства квадратной сетки для постро- ения фигур; разбивать прямоугольник на квадраты, треугольники; составлять фигуры из квадратов и прямоугольников и находить их площадь, разбивать фигуры на прямоугольники и квадраты и находить их площадь.
Выражать величину площади в различных единицах измерения метрической системы мер, понимать и ис- пользовать зависимости между метрическими еди- ницами измерения площади.
Знакомиться с примерами применения площади и периметра в практических ситуациях. Решать зада- чи из реальной жизни, предлагать и обсуждать раз- личные способы решения задач
Десятичные дроби
(38 ч)    Десятичная запись дробей. Сравнение десятичных дробей.
Действия с десятичными дро- бями. Округление десятичных дробей.
Решение текстовых задач, со- держащих дроби. Основные за- дачи на дроби    Представлять десятичную дробь в виде обыкновен- ной, читать и записывать, сравнивать десятичные дроби, предлагать, обосновывать и обсуждать спосо- бы упорядочивания десятичных дробей.
Изображать десятичные дроби точками на коорди- натной прямой.
Выявлять сходства и различия правил арифметиче- ских действий с натуральными числами и десятич- ными дробями, объяснять их.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Выполнять арифметические действия с десятичны- ми дробями; выполнять прикидку и оценку резуль- тата вычислений.
Применять свойства арифметических действий для рационализации вычислений.
Применять правило округления десятичных дробей. Проводить исследования свойств десятичных дро- бей, опираясь на числовые эксперименты (в том числе с помощью компьютера), выдвигать гипотезы и приводить их обоснования.
Распознавать истинные и ложные высказывания о дробях, приводить примеры и контрпримеры, стро- ить высказывания и отрицания высказываний.
Решать текстовые задачи, содержащие дробные дан- ные, и на нахождение части целого и целого по его части; выявлять их сходства и различия.
Моделировать ход решения задачи с помощью ри- сунка, схемы, таблицы. Приводить, разбирать, оце- нивать различные решения, записи решений тексто- вых задач.
Оперировать дробными числами в реальных жизнен- ных ситуациях.
Критически оценивать полученный результат, осу- ществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответ- ствие условию, находить ошибки.
Знакомиться с историей развития арифметики
 

Наглядная геометрия. Тела и фигуры в пространстве (9 ч)    Многогранники. Изображение многогранников. Модели про- странственных тел.
Прямоугольный параллелепи- пед, куб. Развёртки куба и па- раллелепипеда.
Практическая работа «Раз- вёртка куба».
Объём куба, прямоугольного параллелепипеда    Распознавать на чертежах, рисунках, в окружаю- щем мире прямоугольный параллелепипед, куб, многогранники, описывать, используя терминоло- гию, оценивать линейные размеры.
Приводить примеры объектов реального мира, име- ющих форму многогранника, прямоугольного парал- лелепипеда, куба.
Изображать куб на клетчатой бумаге.
Исследовать свойства куба, прямоугольного парал- лелепипеда, многогранников, используя модели.
Распознавать и изображать развёртки куба и парал- лелепипеда. Моделировать куб и параллелепипед из бумаги и прочих материалов, объяснять способ мо- делирования.
Находить измерения, вычислять площадь поверхно- сти; объём куба, прямоугольного параллелепипеда; исследовать зависимость объёма куба от длины его ребра, выдвигать и обосновывать гипотезу.
Наблюдать и проводить аналогии между понятиями площади и объёма, периметра и площади поверхности. Распознавать истинные и ложные высказывания о многогранниках, приводить примеры и контрприме- ры, строить высказывания и отрицания высказыва- ний.
Решать задачи из реальной жизни
Повторение и обобщение (10 ч)    Повторение основных понятий и методов курса 5 класса, обоб- щение знаний    Вычислять значения выражений, содержащих нату- ральные числа, обыкновенные и десятичные дроби, выполнять преобразования чисел.
Выбирать способ сравнения чисел, вычислений, применять свойства арифметических действий для рационализации вычислений.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата вычислений.
Решать задачи из реальной жизни, применять мате- матические знания для решения задач из других учебных предметов.
Решать задачи разными способами, сравнивать способы решения задачи, выбирать рациональный способ

6    класс (не менее 170 ч)

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Натуральные числа
(30 ч)    Арифметические действия с многозначными натуральны- ми числами. Числовые выра- жения, порядок действий, ис- пользование скобок. Округле- ние натуральных чисел.
Делители и кратные числа; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.    Выполнять арифметические действия с многознач- ными натуральными числами, находить значения числовых выражений со скобками и без скобок; вы- числять значения выражений, содержащих степени. Выполнять прикидку и оценку значений числовых выражений, применять приёмы проверки результата. Использовать при вычислениях переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, рас- пределительное свойство умножения относительно сложения, свойства арифметических действий.
 

    Разложение числа на простые множители. Делимость суммы и произведения. Деление с ос- татком.
Решение текстовых задач    Исследовать числовые закономерности, проводить числовые эксперименты, выдвигать и обосновывать гипотезы.
Формулировать определения делителя и кратного, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, простого и составного чисел; использовать эти понятия при решении задач.
Применять алгоритмы вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел, алгоритм разложения числа на простые множители.
Исследовать условия делимости на 4 и 6. Исследовать, обсуждать, формулировать и обосно- вывать вывод о чётности суммы, произведения: двух чётных чисел, двух нечётных числе, чётного и нечёт- ного чисел.
Исследовать свойства делимости суммы и произве- дения чисел.
Приводить примеры чисел с заданными свойствами, распознавать верные и неверные утверждения о свойствах чисел, опровергать неверные утверждения с помощью контрпримеров.
Конструировать математические предложения с по- мощью связок «и», «или», «если…, то…».
Решать текстовые задачи, включающие понятия де- лимости, арифметическим способом, использовать перебор всех возможных вариантов.
Моделировать ход решения задачи с помощью ри- сунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные реше- ния, записи решений текстовых задач.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Критически оценивать полученный результат, нахо- дить ошибки, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию
Наглядная геометрия. Прямые на плоскости (7 ч)    Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые.
Расстояние между двумя точ- ками, от точки до прямой, дли- на пути на квадратной сетке.
Примеры прямых в простран- стве    Распознавать на чертежах, рисунках случаи взаим- ного расположения двух прямых.
Изображать с помощью чертёжных инструментов на нелинованной и клетчатой бумаге две пересекающи- еся прямые, две параллельные прямые, строить пря- мую, перпендикулярную данной.
Приводить примеры параллельности и перпендику- лярности прямых в пространстве.
Распознавать в многоугольниках перпендикулярные и параллельные стороны. Изображать многоуголь- ники с параллельными, перпендикулярными сторо- нами.
Находить расстояние между двумя точками, от точ- ки до прямой, длину пути на квадратной сетке, в том числе используя цифровые ресурсы
Дроби (32 ч)    Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей. Сравнение и упорядо- чивание дробей.
Десятичные дроби и метриче- ская система мер.    Сравнивать и упорядочивать дроби, выбирать спо- соб сравнения дробей.
Представлять десятичные дроби в виде обыкновен- ных дробей и обыкновенные в виде десятичных, ис- пользовать эквивалентные представления дробных чисел при их сравнении, при вычислениях.
 
    Арифметические действия с обыкновенными и десятичны- ми дробями.
Отношение. Деление в данном отношении. Масштаб, пропор- ция.
Понятие процента. Вычисле- ние процента от величины и величины по её проценту.
Решение текстовых задач, со- держащих дроби и проценты.
Практическая работа «Отно- шение длины окружности к её диаметру»    Использовать десятичные дроби при преобразовании величин в метрической системе мер.
Выполнять арифметические действия с обыкновен- ными и десятичными дробями.
Вычислять значения выражений, содержащих обык- новенные и десятичные дроби, выполнять преобра- зования дробей, выбирать способ, применять свой- ства арифметических действий для рационализации вычислений.
Составлять отношения и пропорции, находить отноше- ние величин, делить величину в данном отношении. Находить экспериментальным путём отношение длины окружности к её диаметру.
Интерпретировать масштаб как отношение величин, находить масштаб плана, карты и вычислять рассто- яния, используя масштаб.
Объяснять, что такое процент, употреблять обороты речи со словом «процент». Выражать проценты в дробях и дроби в процентах, отношение двух величин в процентах.
Вычислять процент от числа и число по его проценту. Округлять дроби и проценты, находить приближе- ния чисел.
Решать задачи на части, проценты, пропорции, на нахождение дроби (процента) от величины и величи- ны по её дроби (проценту), дроби (процента), кото- рый составляет одна величина от другой. Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений текстовых задач.
Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, ин- терпретировать табличные данные, определять наи- большее и наименьшее из представленных данных

 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Наглядная геометрия. Симметрия (6 ч)    Осевая симметрия. Централь- ная симметрия.
Построение    симметричных фигур.
Практическая работа «Осевая симметрия».
Симметрия в пространстве    Распознавать на чертежах и изображениях, изобра- жать от руки, строить с помощью инструментов фи- гуру (отрезок, ломаную, треугольник, прямоуголь- ник, окружность), симметричную данной относи- тельно прямой, точки.
Находить примеры симметрии в окружающем мире. Моделировать из бумаги две фигуры, симметричные относительно прямой; конструировать геометриче- ские конфигурации, используя свойство симметрии, в том числе с помощью цифровых ресурсов.
Исследовать свойства изученных фигур, связанные с симметрией, используя эксперимент, наблюдение, моделирование.
Обосновывать, опровергать с помощью контрприме- ров утверждения о симметрии фигур
Выражения с буквами (6 ч)    Применение букв для записи математических выражений и предложений. Буквенные вы- ражения и числовые подста- новки.
Буквенные равенства, нахож- дение неизвестного компонента. Формулы    Использовать буквы для обозначения чисел, при записи математических утверждений, составлять буквенные выражения по условию задачи.
Исследовать несложные числовые закономерности, использовать буквы для их записи.
Вычислять числовое значение буквенного выраже- ния при заданных значениях букв.
Записывать формулы: периметра и площади прямо- угольника, квадрата; длины окружности, площади круга; выполнять вычисления по этим формулам.
 

        Составлять формулы, выражающие зависимости между величинами: скорость, время, расстояние; це- на, количество, стоимость; производительность, вре- мя, объём работы; выполнять вычисления по этим формулам.
Находить неизвестный компонент арифметического действия
Наглядная геометрия.
Фигуры
на плоскости (14 ч)    Четырёхугольник, примеры четырёхугольников. Прямо- угольник, квадрат: свойства сторон, углов, диагоналей.
Измерение углов. Виды тре- угольников.
Периметр многоугольника. Площадь фигуры. Формулы периметра и площади прямо- угольника. Приближённое из- мерение площади фигур.
Практическая работа «Пло- щадь круга»    Изображать на нелинованной и клетчатой бумаге с использованием чертёжных инструментов четырёх- угольники с заданными свойствами: с параллельны- ми, перпендикулярными, равными сторонами, пря- мыми углами и др., равнобедренный треугольник. Предлагать и обсуждать способы, алгоритмы по- строения.
Исследовать, используя эксперимент, наблюдение, моделирование, свойства прямоугольника, квадрата, разбивать на треугольники. Обосновывать, опровер- гать с помощью контрпримеров утверждения о пря- моугольнике, квадрате, распознавать верные и не- верные утверждения.
Измерять и строить с помощью транспортира углы, в том числе в многоугольнике, сравнивать углы; рас- познавать острые, прямые, тупые, развёрнутые углы. Распознавать, изображать остроугольный, прямо- угольный, тупоугольный, равнобедренный, равно- сторонний треугольники.
Вычислять периметр многоугольника, площадь мно- гоугольника разбиением на прямоугольники, на рав- ные фигуры, использовать метрические единицы из- мерения длины и площади.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Использовать приближённое измерение длин и пло- щадей на клетчатой бумаге, приближённое измере- ние длины окружности, площади круга
Положительные и отрицательные числа
(40 ч)    Целые числа. Модуль числа, геометрическая интерпрета- ция модуля. Числовые проме- жутки.
Положительные и отрицатель- ные числа. Сравнение положи- тельных и отрицательных чи- сел. Арифметические действия с положительными и отрица- тельными числами.
Решение текстовых задач    Приводить примеры использования в реальной жиз- ни положительных и отрицательных чисел.
Изображать целые числа, положительные и отрица- тельные числа точками на числовой прямой, исполь- зовать числовую прямую для сравнения чисел.
Применять правила сравнения, упорядочивать це- лые числа; находить модуль числа.
Формулировать правила вычисления с положитель- ными и отрицательными числами, находить значе- ния числовых выражений, содержащих действия с положительными и отрицательными числами.
Применять свойства сложения и умножения для преобразования сумм и произведений
Представление данных
(6 ч)    Прямоугольная система коор- динат на плоскости. Координа- ты точки на плоскости, абсцис- са и ордината.
Столбчатые и круговые диа- граммы.
Практическая работа «Постро- ение диаграмм».    Объяснять и иллюстрировать понятие прямоуголь- ной системы координат на плоскости, использовать терминологию; строить на координатной плоскости точки и фигуры по заданным координатам, находить координаты точек.
Читать столбчатые и круговые диаграммы; интерпретировать данные; строить столбчатые диа- граммы.
 

    Решение текстовых задач, со- держащих данные, представ- ленные в таблицах и на диа- граммах    Использовать информацию, представленную в та- блицах, на диаграммах для решения текстовых задач и задач из реальной жизни
Наглядная геометрия.
Фигуры
в пространстве (9 ч)    Прямоугольный параллелепи- пед, куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар и сфера. Изображение пространствен- ных фигур. Примеры развёр- ток многогранников, цилин- дра и конуса.
Практическая работа «Созда- ние моделей пространствен- ных фигур».
Понятие объёма; единицы из- мерения объёма. Объём прямо- угольного параллелепипеда, куба, формулы объёма    Распознавать на чертежах, рисунках, описывать пи- рамиду, призму, цилиндр, конус, шар, изображать их от руки, моделировать из бумаги, пластилина, проволоки и др. Приводить примеры объектов окру- жающего мира, имеющих формы названных тел.
Использовать терминологию: вершина, ребро, грань, основание, высота, радиус и диаметр, развёртка.
Изучать, используя эксперимент, наблюдение, изме- рение, моделирование, в том числе компьютерное, и описывать свойства названных тел, выявлять сход- ства и различия: между пирамидой и призмой; меж- ду цилиндром, конусом и шаром.
Распознавать развёртки параллелепипеда, куба, призмы, пирамиды, конуса, цилиндра; конструиро- вать данные тела из развёрток, создавать их модели. Создавать модели пространственных фигур (из бума- ги, проволоки, пластилина и др.)
Измерять на моделях: длины рёбер многогранников, диаметр шара.
Выводить формулу объёма прямоугольного паралле- лепипеда.
Вычислять по формулам: объём прямоугольного па- раллелепипеда, куба; использовать единицы измере- ния объёма; вычислять объёмы тел, составленных из кубов, параллелепипедов; решать задачи с реальны- ми данными
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Повторение,    Повторение основных понятий    Вычислять значения выражений, содержащих нату-
обобщение,    и методов курсов 5 и 6 классов,    ральные, целые, положительные и отрицательные
систематизация    обобщение и систематизация    числа, обыкновенные и десятичные дроби, выпол-
(20 ч)    знаний    нять преобразования чисел и выражений.
Выбирать  способ  сравнения чисел, вычислений,
        применять свойства арифметических действий для
        рационализации вычислений.
        Решать задачи из реальной жизни, применять мате-
        матические знания для решения задач из других
        предметов.
        Решать задачи разными способами, сравнивать, вы-
        бирать способы решения задачи.
        Осуществлять самоконтроль выполняемых действий
        и самопроверку результата вычислений

При разработке рабочей программы в тематическом планировании должны быть учтены возмож- ности использования электронных (цифровых) образовательных ресурсов, являющихся учебно-мето- дическими материалами (мультимедийные программы, электронные учебники и задачники, элек- тронные библиотеки, виртуальные лаборатории, игровые программы, коллекции цифровых образо- вательных ресурсов), используемыми для обучения и воспитания различных групп пользователей, представленными в электронном (цифровом) виде и реализующими дидактические возможности ИКТ, содержание которых соответствует законодательству об образовании.
 
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА». 79 КЛАССЫ

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Алгебра является одним из опорных курсов основной школы: она обеспечивает изучение других дисциплин, как естественно- научного, так и гуманитарного циклов, её освоение необходимо для продолжения образования и в повседневной жизни. Разви- тие у обучающихся научных представлений о происхождении и сущности алгебраических абстракций, способе отражения математической наукой явлений и процессов в природе и обще- стве, роли математического моделирования в научном позна- нии и в практике способствует формированию научного миро- воззрения и качеств мышления, необходимых для адаптации в современном цифровом обществе. Изучение алгебры естествен- ным образом обеспечивает развитие умения наблюдать, сравни- вать, находить закономерности, требует критичности мышле- ния, способности аргументированно обосновывать свои дей- ствия и выводы, формулировать утверждения. Освоение курса алгебры обеспечивает развитие логического мышления обуча- ющихся: они используют дедуктивные и индуктивные рас- суждения, обобщение и конкретизацию, абстрагирование и ана- логию. Обучение алгебре предполагает значительный объём самостоятельной деятельности обучающихся, поэтому самосто- ятельное решение задач естественным образом является реали- зацией деятельностного принципа обучения.
В структуре программы учебного курса «Алгебра» основной школы основное место занимают содержательно-методические линии: «Числа и вычисления»; «Алгебраические выражения»;
«Уравнения и неравенства»; «Функции». Каждая из этих со- держательно-методических линий развивается на протяжении трёх лет изучения курса, естественным образом переплетаясь и взаимодействуя с другими его линиями. В ходе изучения курса обучающимся приходится логически рассуждать, использовать теоретико-множественный язык. В связи с этим целесообразно включить в программу некоторые основы логики, пронизыва- ющие все основные разделы математического образования и способствующие овладению обучающимися основ универсаль- ного математического языка. Таким образом, можно утверж- дать, что содержательной и структурной особенностью курса
«Алгебра» является его интегрированный характер.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    43
 
Содержание линии «Числа и вычисления» служит основой для дальнейшего изучения математики, способствует развитию у обучающихся логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практиче- ских навыков, необходимых для повседневной жизни. Развитие понятия о числе в основной школе связано с рациональными и иррациональными числами, формированием представлений о действительном числе. Завершение освоения числовой линии отнесено к старшему звену общего образования.
Содержание двух алгебраических линий — «Алгебраические выражения» и «Уравнения и неравенства» способствует форми- рованию у обучающихся математического аппарата, необходи- мого для решения задач математики, смежных предметов и практико-ориентированных задач. В основной школе учебный материал группируется вокруг рациональных выражений. Ал- гебра демонстрирует значение математики как языка для по- строения математических моделей, описания процессов и явле- ний реального мира. В задачи обучения алгебре входят также дальнейшее развитие алгоритмического мышления, необходи- мого, в частности, для освоения курса информатики, и овладе- ние навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование сим- вольных форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству.
Содержание функционально-графической линии нацелено на получение школьниками знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разно- образных процессов и явлений в природе и обществе. Изучение этого материала способствует развитию у обучающихся умения использовать различные выразительные средства языка мате- матики — словесные, символические, графические, вносит вклад в формирование представлений о роли математики в раз- витии цивилизации и культуры.
МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 7—9 классах изучается учебный курс «Алгебра», который включает следующие основные раз- делы содержания: «Числа и вычисления», «Алгебраические выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции».
Учебный план на изучение алгебры в 7—9 классах отводит не менее 3 учебных часов в неделю в течение каждого года об- учения, всего за три года обучения — не менее 306 учебных часов.

44    Примерная рабочая программа
 
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7    класс
Числа и вычисления
Рациональные числа
Дроби обыкновенные и десятичные, переход от одной формы записи дробей к другой. Понятие рационального числа, запись, сравнение, упорядочивание рациональных чисел. Арифметиче- ские действия с рациональными числами. Решение задач из реальной практики на части, на дроби.
Степень с натуральным показателем: определение, преобразо- вание выражений на основе определения, запись больших чисел. Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде про- центов. Три основные задачи на проценты, решение задач из
реальной практики.
Применение признаков делимости, разложение на множите- ли натуральных чисел.
Реальные зависимости, в том числе прямая и обратная про- порциональности.
Алгебраические выражения
Переменные, числовое значение выражения с переменной. До- пустимые значения переменных. Представление зависимости между величинами в виде формулы. Вычисления по формулам. Преобразование буквенных выражений, тождественно равные выражения, правила преобразования сумм и произведений, пра-
вила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
Свойства степени с натуральным показателем.
Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула раз- ности квадратов. Разложение многочленов на множители.
Уравнения
Уравнение, корень уравнения, правила преобразования урав- нения, равносильность уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, число корней ли- нейного уравнения, решение линейных уравнений. Составле- ние уравнений по условию задачи. Решение текстовых задач с помощью уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Си- стема двух линейных уравнений с двумя переменными. Реше- ние систем уравнений способом подстановки. Примеры реше- ния текстовых задач с помощью систем уравнений.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    45
 
Координаты и графики. Функции
Координата точки на прямой. Числовые промежутки. Рассто- яние между двумя точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат, оси Ox и Oy. Абсцисса и ордината точки на координатной плоскости. Примеры графиков, заданных формулами. Чтение графиков реальных зависимостей. Понятие функции. График функции. Свойства функций. Линей- ная функция, её график. График функции y = х . Графическое решение линейных уравнений и систем линейных уравнений.
8    класс
Числа и вычисления
Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Свой- ства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям. Дей- ствительные числа.
Степень с целым показателем и её свойства. Стандартная за- пись числа.
Алгебраические выражения
Квадратный трёхчлен; разложение квадратного трёхчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраиче- ских дробей. Рациональные выражения и их преобразование.
Уравнения и неравенства
Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Простейшие дробно-рациональные уравнения.
Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линейные неравен- ства с одной переменной. Системы линейных неравенств с од- ной переменной.
Функции
Понятие функции. Область определения и множество значе- ний функции. Способы задания функций.
График функции. Чтение свойств функции по её графику. Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы.

46    Примерная рабочая программа
 
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональ- ные зависимости, их графики. Функции y = x2, y = x3, y =  x , y = х . Графическое решение уравнений и систем
уравнений.
9 класс
Числа и вычисления
Действительные числа
Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чи- сел; действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Взаимно однозначное соответствие между множеством действи- тельных чисел и координатной прямой.
Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами.
Измерения, приближения, оценки
Размеры объектов окружающего мира, длительность процес- сов в окружающем мире.
Приближённое значение величины, точность приближения. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.
Уравнения и неравенства
Уравнения с одной переменной
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к ли- нейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Биквадратное уравнение. Примеры решения урав- нений третьей и четвёртой степеней разложением на множители.
Решение дробно-рациональных уравнений. Решение текстовых задач алгебраическим методом.
Системы уравнений
Уравнение с двумя переменными и его график. Решение си- стем двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое — второй степени. Графическая интерпретация системы уравне- ний с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Неравенства
Числовые неравенства и их свойства.
Решение линейных неравенств с одной переменной. Решение систем линейных неравенств с одной переменной. Квадратные

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    47
 
неравенства. Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя переменными.
Функции
Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, ко- ординаты вершины параболы, ось симметрии параболы.
 
Графики функций: y = kx, y = kx + b, y =
y =    x , y = х и их свойства.
Числовые последовательности
 
k ,  y = x3,
x
 
Определение и способы задания числовых последовательностей
Понятие числовой последовательности. Задание последова- тельности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, сум- мы первых n членов.
Изображение членов арифметической и геометрической про- грессий точками на координатной плоскости. Линейный и экс- поненциальный рост. Сложные проценты.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Алгебра» на уровне основного об- щего образования должно обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
7 класс
Числа и вычисления
6 Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифме- тические действия с рациональными числами.
6 Находить значения числовых выражений; применять разно- образные способы и приёмы вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби.
6 Переходить от одной формы записи чисел к другой (преобразо- вывать десятичную дробь в обыкновенную, обыкновенную в десятичную, в частности в бесконечную десятичную дробь).
6 Сравнивать и упорядочивать рациональные числа.
6 Округлять числа.
6 Выполнять прикидку и оценку результата вычислений, оцен- ку значений числовых выражений.

48    Примерная рабочая программа
 
6 Выполнять действия со степенями с натуральными показате- лями.
6 Применять признаки делимости, разложение на множители натуральных чисел.
6 Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отно- шением величин, пропорциональностью величин, процентами; интерпретировать результаты решения задач с учётом ограни- чений, связанных со свойствами рассматриваемых объектов.
Алгебраические выражения
6 Использовать алгебраическую терминологию и символику, применять её в процессе освоения учебного материала.
6 Находить значения буквенных выражений при заданных зна- чениях переменных.
6 Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных слагаемых, раскрытием скобок.
6 Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, применять формулы квадрата суммы и квадра- та разности.
6 Осуществлять разложение многочленов на множители с по- мощью вынесения за скобки общего множителя, группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения.
6 Применять преобразования многочленов для решения раз- личных задач из математики, смежных предметов, из реаль- ной практики.
6 Использовать свойства степеней с натуральными показателя- ми для преобразования выражений.
Уравнения и неравенства
6 Решать линейные уравнения с одной переменной, применяя правила перехода от исходного уравнения к равносильному ему. Проверять, является ли число корнем уравнения.
6 Применять графические методы при решении линейных уравнений и их систем.
6 Подбирать примеры пар чисел, являющихся решением ли- нейного уравнения с двумя переменными.
6 Строить в координатной плоскости график линейного урав- нения с двумя переменными; пользуясь графиком, приво- дить примеры решения уравнения.
6 Решать системы двух линейных уравнений с двумя перемен- ными, в том числе графически.
6 Составлять и решать линейное уравнение или систему линей- ных уравнений по условию задачи, интерпретировать в соот- ветствии с контекстом задачи полученный результат.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    49
 
Координаты и графики. Функции
6 Изображать на координатной прямой точки, соответствую- щие заданным координатам, лучи, отрезки, интервалы; за- писывать числовые промежутки на алгебраическом языке.
6 Отмечать в координатной плоскости точки по заданным ко- ординатам; строить графики линейных функций. Строить график функции y = х .
6 Описывать с помощью функций известные зависимости меж- ду величинами: скорость, время, расстояние; цена, количе- ство, стоимость; производительность, время, объём работы.
6 Находить значение функции по значению её аргумента.
6 Понимать графический способ представления и анализа ин- формации; извлекать и интерпретировать информацию из графиков реальных процессов и зависимостей.
8 класс
Числа и вычисления
6 Использовать начальные представления о множестве дей- ствительных чисел для сравнения, округления и вычисле- ний; изображать действительные числа точками на коорди- натной прямой.
6 Применять понятие арифметического квадратного корня; на- ходить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор; выполнять преобразования выражений, содер- жащих квадратные корни, используя свойства корней.
6 Использовать записи больших и малых чисел с помощью де- сятичных дробей и степеней числа 10.
Алгебраические выражения
6 Применять понятие степени с целым показателем, выпол- нять преобразования выражений, содержащих степени с це- лым показателем.
6 Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями.
6 Раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
6 Применять преобразования выражений для решения различ- ных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.
Уравнения и неравенства
6 Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с дву- мя переменными.

50    Примерная рабочая программа
 
6 Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических пред- ставлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.).
6 Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебра- ической модели с помощью составления уравнения или си- стемы уравнений, интерпретировать в соответствии с контек- стом задачи полученный результат.
6 Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.
Функции
6 Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения); определять значение функции по значению аргумента; определять свойства функ-
ции по её графику.    k    2
6 Строить графики элементарных функций вида y = x , y = x ,
y = x3, y =    x , y = х ; описывать свойства числовой функ- ции по её графику.
9 класс
Числа и вычисления
6 Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональ- ные числа.
6 Выполнять арифметические действия с рациональными чис- лами, сочетая устные и письменные приёмы, выполнять вы- числения с иррациональными числами.
6 Находить значения степеней с целыми показателями и кор- ней; вычислять значения числовых выражений.
6 Округлять действительные числа, выполнять прикидку ре- зультата вычислений, оценку числовых выражений.
Уравнения и неравенства
6 Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводя- щиеся к ним, простейшие дробно-рациональные уравнения.
6 Решать системы двух линейных уравнений с двумя перемен- ными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным.
6 Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помо- щью составления уравнения или системы двух уравнений с двумя переменными.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    51
 
6 Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических пред- ставлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.).
6 Решать линейные неравенства, квадратные неравенства; изо- бражать решение неравенств на числовой прямой, записы- вать решение с помощью символов.
6 Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство; изображать решение системы неравенств на числовой прямой, записывать реше- ние с помощью символов.
6 Использовать неравенства при решении различных задач.
Функции
6 Распознавать функции изученных видов. Показывать схема- тически расположение на координатной плоскости графиков
 
функций вида: y = kx, y = kx + b, y =
 
k , y = ax2 + bx + c,
 
y = x3, y = x , y = х в зависимости от значений коэффици- ентов; описывать свойства функций.
6 Строить и изображать схематически графики квадратичных
функций, описывать свойства квадратичных функций по их графикам.
6 Распознавать квадратичную функцию по формуле, приво- дить примеры квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
6 Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания.
6 Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы пер- вых n членов.
6 Изображать члены последовательности точками на коорди- натной плоскости.
6 Решать задачи, связанные с числовыми последовательностя- ми, в том числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий).

52    Примерная рабочая программа
 
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7    класс (не менее 102 ч)

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Числа и вычис- ления.
Рациональные числа
(25 ч)    Понятие рационального числа. Арифметические действия с рациональными числами. Сравнение, упорядочивание рациональных чисел.
Степень с натуральным пока- зателем.
Решение основных задач на дроби, проценты из реальной практики.
Признаки делимости, разло- жения на множители нату- ральных чисел.
Реальные зависимости. Пря- мая и обратная пропорцио- нальности    Систематизировать и обогащать знания об обыкно- венных и десятичных дробях.
Сравнивать и упорядочивать дроби, преобразовывая при необходимости десятичные дроби в обыкновен- ные, обыкновенные в десятичные, в частности в бес- конечную десятичную дробь.
Применять разнообразные способы и приёмы вы- числения значений дробных выражений, содержа- щих обыкновенные и десятичные дроби: заменять при необходимости десятичную дробь обыкновенной и обыкновенную десятичной, приводить выражение к форме, наиболее удобной для вычислений, преоб- разовывать дробные выражения на умножение и де- ление десятичных дробей к действиям с целыми чис- лами.
Приводить числовые и буквенные примеры степени с натуральным показателем, объясняя значения ос- нования степени и показателя степени, находить зна- чения степеней вида an (a — любое рациональное число, n — натуральное число).
Понимать смысл записи больших чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, применять их в реальных ситуациях.
 
Продолжение

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Применять признаки делимости, разложения на множители натуральных чисел.
Решать задачи на части, проценты, пропорции, на нахождение дроби (процента) от величины и величи- ны по её дроби (проценту), дроби (процента), кото- рый составляет одна величина от другой. Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений текстовых задач.
Распознавать и объяснять, опираясь на определе- ния, прямо пропорциональные и обратно пропорци- ональные зависимости между величинами; приво- дить примеры этих зависимостей из реального мира, из других учебных предметов.
Решать практико-ориентированные задачи на дроби, проценты, прямую и обратную пропорциональности, пропорции
Алгебраические выражения
(27 ч)    Буквенные выражения. Пере- менные. Допустимые значе- ния переменных. Формулы.
Преобразование буквенных выражений, раскрытие скобок и приведение подобных слага- емых.
Свойства степени с натураль- ным показателем.    Овладеть алгебраической терминологией и символи- кой, применять её в процессе освоения учебного ма- териала.
Находить значения буквенных выражений при за- данных значениях букв; выполнять вычисления по формулам.
Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных слагаемых, рас- крытием скобок.
 

    Многочлены. Сложение, вычи- тание, умножение многочле- нов. Формулы сокращённого умножения. Разложение мно- гочленов на множители    Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, применять формулы ква- драта суммы и квадрата разности.
Осуществлять разложение многочленов на множите- ли путём вынесения за скобки общего множителя, применения формулы разности квадратов, формул сокращённого умножения.
Применять преобразование многочленов для реше- ния различных задач из математики, смежных пред- метов, из реальной практики.
Знакомиться с историей развития математики
Уравнения
и неравенства (20 ч)    Уравнение, правила преобра- зования уравнения, равно- сильность уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, решение линей- ных уравнений. Решение задач с помощью уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Система двух линейных урав- нений с двумя переменными. Решение систем уравнений способом подстановки и спосо- бом сложения    Решать линейное уравнение с одной переменной, применяя правила перехода от исходного уравнения к равносильному ему более простого вида. Проверять, является ли конкретное число корнем уравнения.
Подбирать примеры пар чисел, являющихся реше- нием линейного уравнения с двумя переменными. Строить в координатной плоскости график линейно- го уравнения с двумя переменными; пользуясь гра- фиком, приводить примеры решения уравнения.
Находить решение системы двух линейных уравне- ний с двумя переменными.
Составлять и решать уравнение или систему уравне- ний по условию задачи, интерпретировать в соответ- ствии с контекстом задачи полученный результат
Координаты и графики. Функции (24 ч)    Координата точки на прямой. Числовые промежутки. Рас- стояние между двумя точками координатной прямой.    Изображать на координатной прямой точки, соот- ветствующие заданным координатам, лучи, отрез- ки, интервалы; записывать их на алгебраическом языке.
 
Продолжение

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
    Прямоугольная система коор- динат на плоскости. Примеры графиков, заданных формула- ми. Чтение графиков реаль- ных зависимостей.
Понятие функции. График функции. Свойства функций. Линейная функция. Построе- ние графика линейной функ- ции. График функции y = х     Отмечать в координатной плоскости точки по задан- ным координатам; строить графики несложных за- висимостей, заданных формулами, в том числе с по- мощью цифровых лабораторий.
Применять, изучать преимущества, интерпретиро- вать графический способ представления и анализа разнообразной жизненной информации.
Осваивать понятие функции, овладевать функцио- нальной терминологией.
Распознавать линейную функцию y = kx + b, опи- сывать её свойства в зависимости от значений коэф- фициентов k и b.
Строить  графики  линейной функции, функции
y = х .
Использовать цифровые ресурсы для построения графиков функций и изучения их свойств.
Приводить примеры линейных зависимостей в ре- альных процессах и явлениях
Повторение и обобщение (6 ч)    Повторение основных понятий и методов курса 7 класса, обоб- щение знаний    Выбирать, применять оценивать способы сравнения чисел, вычислений, преобразований выражений, ре- шения уравнений.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата вычислений, преобразо- ваний, построений.
 

        Решать задачи из реальной жизни, применять мате- матические знания для решения задач из других предметов.
Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы решения задачи

8    класс (не менее 102 ч)

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Числа и вычис- ления. Квадрат- ные корни
(15 ч)    Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближе- ния иррациональных чисел. Действительные числа. Срав- нение действительных чисел. Арифметический квадратный корень.
Уравнение вида x2 = a. Свойства арифметических ква- дратных корней. Преобразова- ние числовых выражений, со- держащих квадратные корни    Формулировать определение квадратного корня из числа, арифметического квадратного корня.
Применять операцию извлечения квадратного корня из числа, используя при необходимости калькуля- тор.
Оценивать квадратные корни целыми числами и де- сятичными дробями.
Сравнивать и упорядочивать рациональные и ирра- циональные числа, записанные с помощью квадрат- ных корней.
Исследовать уравнение x2 = a, находить точные и приближённые корни при a > 0.
Исследовать свойства квадратных корней, проводя числовые эксперименты с использованием калькуля- тора (компьютера).
Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их для преобразования выраже- ний.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Выполнять преобразования выражений, содержа- щих квадратные корни. Выражать переменные из геометрических и физических формул.
Вычислять значения выражений, содержащих ква- дратные корни, используя при необходимости каль- кулятор.
Использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближёнными значе- ниями величин.
Знакомиться с историей развития математики
Числа и вычис-    Степень с целым показателем.    Формулировать определение степени с целым пока-
ления. Степень    Стандартная запись числа.    зателем.
с целым показа-    Размеры объектов окружаю-    Представлять запись больших и малых чисел в стан-
телем    щего мира (от элементарных    дартном виде. Сравнивать числа и величины, запи-
(7 ч)    частиц до космических объек-
тов), длительность процессов в    санные с использованием степени 10.
Использовать запись чисел в стандартном виде для
    окружающем мире.    выражения размеров объектов, длительности процес-
    Свойства степени с целым по-    сов в окружающем мире.
    казателем    Формулировать, записывать в символической фор-
        ме и иллюстрировать примерами свойства степени
        с целым показателем.
        Применять свойства степени для преобразования
        выражений, содержащих степени с целым показате-
        лем. Выполнять действия с числами, записанными в
        стандартном виде (умножение, деление, возведение
        в степень)
 

Алгебраические выражения.
Квадратный трёхчлен
(5 ч)    Квадратный трёхчлен. Разло- жение квадратного трёхчлена на множители    Распознавать квадратный трёхчлен, устанавливать возможность его разложения на множители.
Раскладывать на множители квадратный трёхчлен с неотрицательным дискриминантом
Алгебраические выражения.
Алгебраическая дробь
(15 ч)    Алгебраическая дробь. Допу- стимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Основное свойство алгебраической дроби. Сокра- щение дробей.
Сложение, вычитание, умно- жение и деление алгебраиче- ских дробей. Преобразование выражений, содержащих алге- браические дроби    Записывать алгебраические выражения. Находить
область определения рационального выражения. Выполнять числовые подстановки и вычислять зна- чение дроби, в том числе с помощью калькулятора. Формулировать основное свойство алгебраической дроби и применять его для преобразования дробей. Выполнять действия с алгебраическими дробями. Применять преобразования выражений для решения задач. Выражать переменные из формул (физиче- ских, геометрических, описывающих бытовые ситуа- ции)
Уравнения
и неравенства. Квадратные уравнения
(15 ч)    Квадратное уравнение. Непол- ное квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета.
Решение уравнений, сводящих- ся к квадратным. Простейшие дробно-рациональные уравне- ния.
Решение текстовых задач с по- мощью квадратных уравнений    Распознавать квадратные уравнения.
Записывать формулу корней квадратного уравне- ния; решать квадратные уравнения — полные и не- полные.
Проводить простейшие исследования квадратных уравнений.
Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с по- мощью преобразований и заменой переменной.
Наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Формулировать теорему Виета, а также обратную теорему, применять эти теоремы для решения задач.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия за- дачи к алгебраической модели путём составления уравнения; решать составленное уравнение; интер- претировать результат.
Знакомиться с историей развития алгебры
Уравнения
и неравенства. Системы уравне- ний
(13 ч)    Линейное уравнение с двумя переменными, его график, примеры решения уравнений в целых числах.
Решение систем двух линей- ных уравнений с двумя пере- менными. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
Графическая интерпретация уравнения с двумя переменны- ми и систем уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач с по- мощью систем уравнений    Распознавать линейные уравнения с двумя перемен- ными.
Строить графики линейных уравнений, в том числе
используя цифровые ресурсы.
Различать параллельные и пересекающиеся прямые по их уравнениям.
Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными подстановкой и сложением.
Решать простейшие системы, в которых одно из уравнений не является линейным.
Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом
Уравнения
и неравенства. Неравенства (12 ч)    Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной перемен- ной. Линейные неравенства с    Формулировать свойства числовых неравенств, ил- люстрировать их на координатной прямой, доказы- вать алгебраически.
Применять свойства неравенств в ходе решения задач.
 

    одной переменной и их реше- ние. Системы линейных нера- венств с одной переменной и их решение.
Изображение решения линей- ного неравенства и их систем на числовой прямой    Решать линейные неравенства с одной переменной, изображать решение неравенства на числовой пря- мой.
Решать системы линейных неравенств, изображать решение системы неравенств на числовой прямой
Функции.    Понятие    функции.    Область    Использовать  функциональную терминологию  и
Основные    определения и множество зна-    символику.
понятия    чений функции. Способы зада-    Вычислять значения функций, заданных формулами
(5 ч)    ния функций.
График    функции.    Свойства    (при необходимости использовать калькулятор); со-
ставлять таблицы значений функции.
    функции, их отображение на    Строить по точкам графики функций.
    графике    Описывать свойства функции на основе её графиче-
        ского представления.
        Использовать  функциональную терминологию  и
        символику.
        Исследовать примеры графиков, отражающих реаль-
        ные процессы и явления. Приводить примеры про-
        цессов и явлений с заданными свойствами.
        Использовать компьютерные программы для по-
        строения графиков функций и изучения их свойств
Функции.    Чтение и построение графиков    Находить с помощью графика функции значение од-
Числовые    функций. Примеры графиков    ной из рассматриваемых величин по значению дру-
функции    функций, отражающих реаль-    гой.
(9 ч)    ные процессы.
Функции, описывающие пря-    В несложных случаях выражать формулой зависи-
мость между величинами.
    мую и обратную пропорцио-    Описывать характер изменения одной величины в
    нальные зависимости, их гра- фики. Гипербола.    зависимости от изменения другой.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
    График функции y = x2. Функции    y = x2,    y = x3, y =    x, y = х ; графическое
решение уравнений и систем
уравнений    Распознавать виды изучаемых функций. Показы- вать схематически положение на координатной пло- скости графиков функций вида: y = x2, y = x3,
y =  x, y = х .
Использовать функционально-графические пред- ставления для решения и исследования уравнений и систем уравнений.
Применять цифровые ресурсы для построения гра- фиков функций
Повторение и обобщение (6 ч)    Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний    Выбирать, применять, оценивать способы сравнения чисел, вычислений, преобразований выражений, ре- шения уравнений.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата вычислений, преобразо- ваний, построений.
Решать задачи из реальной жизни, применять мате- матические знания для решения задач из других предметов.
Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы решения задачи
 
9    класс (не менее 102 ч)

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Числа и вычис-    Рациональные числа, ирраци-    Развивать представления о числах: от множества
ления. Действи-    ональные числа, конечные и    натуральных чисел до множества действительных
тельные числа    бесконечные десятичные дро-    чисел.
(9 ч)    би. Множество действитель-
ных  чисел;  действительные    Ознакомиться с возможностью представления дей-
ствительного числа как бесконечной десятичной дро-
    числа как бесконечные деся-    би, применять десятичные приближения рациональ-
    тичные дроби. Взаимно одно-    ных и иррациональных чисел.
    значное соответствие между    Изображать действительные числа точками коорди-
    множеством    действительных    натной прямой.
    чисел и множеством точек ко-    Записывать, сравнивать и упорядочивать действи-
    ординатной прямой.    тельные числа.
    Сравнение действительных чи-    Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы,
    сел, арифметические действия    арифметические действия с рациональными числа-
    с действительными числами.    ми; находить значения степеней с целыми показате-
    Приближённое значение вели-    лями и корней; вычислять значения числовых вы-
    чины, точность приближения.    ражений.
    Округление чисел. Прикидка и    Получить представление о значимости действитель-
    оценка результатов вычисле-    ных чисел в практической деятельности человека.
    ний    Анализировать и делать выводы о точности прибли-
        жения действительного числа при решении задач.
        Округлять действительные числа, выполнять при-
        кидку результата вычислений, оценку значений чис-
        ловых выражений.
        Знакомиться с историей развития математики
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
Уравнения    Линейное уравнение. Решение    Осваивать, запоминать и применять графические
и неравенства.    уравнений, сводящихся к ли-    методы при решении уравнений, неравенств и их си-
Уравнения    нейным.    стем.
с одной    Квадратное уравнение. Реше-    Распознавать целые и дробные уравнения.
переменной    ние уравнений, сводящихся    Решать линейные и квадратные уравнения, уравне-
(14 ч)    к квадратным. Биквадратные
уравнения.    ния, сводящиеся к ним, простейшие дробно-рацио-
нальные уравнения.
    Примеры решения уравнений    Предлагать возможные способы решения текстовых
    третьей и четвёртой степеней    задач, обсуждать их и решать текстовые задачи раз-
    разложением на множители.    ными способами.
    Решение    дробно-рациональ- ных уравнений.    Знакомиться с историей развития математики
    Решение текстовых задач алге-    
    браическим методом    
Уравнения    Линейное уравнение с двумя    Осваивать и применять приёмы решения системы
и неравенства.    переменными и его график.    двух линейных уравнений с двумя переменными и
Системы уравне-    Система двух линейных урав-    системы двух уравнений, в которых одно уравнение
ний    нений с двумя переменными и    не является линейным.
(14 ч)    её решение. Решение систем
двух уравнений, одно из кото-    Использовать    функционально-графические    пред-
ставления для решения и исследования уравнений и
    рых линейное, а другое — вто-    систем.
    рой степени.    Анализировать тексты задач, решать их алгебраиче-
    Графическая    интерпретация    ским способом: переходить от словесной формули-
    системы уравнений с двумя    ровки условия задачи к алгебраической модели пу-
    переменными.    тём составления системы уравнений; решать состав-
 

    Решение текстовых задач алге- браическим способом    ленную систему уравнений; интерпретировать ре- зультат.
Знакомиться с историей развития математики
Уравнения
и неравенства. Неравенства (16 ч)    Числовые неравенства и их свойства.
Линейные неравенства с одной переменной и их решение.
Системы линейных неравенств с одной переменной и их реше- ние.
Квадратные неравенства и их решение.
Графическая интерпретация неравенств и систем нера- венств с двумя переменными    Читать, записывать, понимать, интерпретировать неравенства; использовать символику и терминологию. Выполнять преобразования неравенств, использовать для преобразования свойства числовых неравенств. Распознавать линейные и квадратные неравенства. Решать линейные неравенства, системы линейных неравенств, системы неравенств, включающих ква- дратное неравенство, и решать их; обсуждать полу- ченные решения.
Изображать решение неравенства и системы нера- венств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
Решать квадратные неравенства, используя графиче- ские представления.
Осваивать и применять неравенства при решении различных задач, в том числе практико-ориентиро- ванных
Функции (16 ч)    Квадратичная    функция,    её график и свойства. Парабола, координаты вершины парабо- лы, ось симметрии параболы. Степенные функции с нату- ральными показателями 2 и 3, их графики и свойства.
Графики    функций:    y = kx, y = kx + b,  y =  k,  y = ax2,
x
y = ax3, y =    x, y = х     Распознавать виды изучаемых функций; иллюстри- ровать схематически, объяснять расположение на координатной плоскости графиков функций вида: y = kx,  y = kx + b,  y =  k ,  y = ax2,  y = ax3,
x
y =    x, y = х в зависимости от значений коэффи- циентов; описывать их свойства.
Распознавать квадратичную функцию по формуле.
Приводить примеры квадратичных зависимостей из реальной жизни, физики, геометрии.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Выявлять и обобщать особенности графика квадра- тичной функции y = ax2 + bx + c.
Строить и изображать схематически графики квадра- тичных функций, заданных формулами вида y = ax2, y = ax2 + q, y = a(x + p)2, y = ax2 + bx + c.
Анализировать и применять свойства изученных функций для их построения, в том числе с помощью цифровых ресурсов
Числовые после- довательности (15 ч)    Понятие числовой последова- тельности.
Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометри- ческая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение членов арифме-
тической и геометрической прогрессий точками на коор- динатной плоскости.
Линейный и экспоненциаль- ный рост.
Сложные проценты    Осваивать и применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последователь- ности.
Анализировать формулу n-го члена последователь- ности или рекуррентную формулу и вычислять члены последовательностей, заданных этими формулами.
Устанавливать закономерность в построении после- довательности, если выписаны первые несколько её членов.
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания.
Решать задачи с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, сум- мы первых n членов.
Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
 

        Рассматривать примеры процессов и явлений из ре- альной жизни, иллюстрирующие изменение в ариф- метической прогрессии, в геометрической прогрес- сии; изображать соответствующие зависимости гра- фически.
Решать задачи, связанные с числовыми последова- тельностями, в том числе задачи из реальной жизни с использованием цифровых технологий (электрон- ных таблиц, графического калькулятора и т.п.).
Решать задачи на сложные проценты, в том числе задачи из реальной практики (с использованием калькулятора).
Знакомиться с историей развития математики
Повторение, обобщение, систематизация знаний1
(18 ч)    Числа и вычисления (запись, сравнение, действия с действи- тельными числами, числовая прямая; проценты, отноше- ния, пропорции; округление, приближение, оценка; реше- ние текстовых задач арифме- тическим способом)    Оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над множествами; использовать графиче- ское представление множеств для описания реаль- ных процессов и явлений, при решении задач из дру- гих учебных предметов.
Актуализировать терминологию и основные дей- ствия, связанные с числами: натуральное число, простое и составное числа, делимость натуральных чисел, признаки делимости, целое число, модуль числа, обыкновенная и десятичная дроби, стандарт- ный вид числа, арифметический квадратный корень.

1 Здесь представлены элементы содержания курса, изучавшиеся в 5—8 клас- сах и требующие повторения, обобщения и систематизации. Обращаться к этому материалу можно в виде акцента на завершающем этапе изучения курса 9 класса или распределять по соответствующим тематическим раз- делам, изучаемым в течение учебного года.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    
Основные виды деятельности обучающихся
        Выполнять действия, сравнивать и упорядочивать числа, представлять числа на координатной прямой, округлять числа; выполнять прикидку и оценку ре- зультата вычислений.
Решать текстовые задачи арифметическим способом. Решать практические задачи, содержащие процен- ты, доли, части, выражающие зависимости: ско- рость — время — расстояние, цена — количе- ство — стоимость, объём работы — время — про- изводительность труда.
Разбирать реальные жизненные ситуации, формули- ровать их на языке математики, находить решение, применяя математический аппарат, интерпретиро- вать результат
    Алгебраические выражения (преобразование алгебраиче- ских выражений, допустимые значения)    Оперировать понятиями: степень с целым показате- лем, арифметический квадратный корень, много- член, алгебраическая дробь, тождество.
Выполнять основные действия: выполнять расчёты по формулам, преобразовывать целые, дробно-раци- ональные выражения и выражения с корнями, реа- лизовывать разложение многочлена на множители, в том числе с использованием формул разности ква- дратов и квадрата суммы и разности; находить до- пустимые значения переменных для дробно-рацио- нальных выражений, корней.
 

        Моделировать с помощью формул реальные процес- сы и явления
    Функции (построение, свой- ства изученных функций; гра- фическое решение уравнений и их систем)    Оперировать понятиями: функция, график функ- ции, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения функции.
Анализировать, сравнивать, обсуждать свойства функций, строить их графики.
Оперировать понятиями: прямая пропорциональ- ность, обратная пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, парабола, гипер- бола.
Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей, для решения задач из дру- гих учебных предметов и реальной жизни; модели- ровать с помощью графиков реальные процессы и явления.
Выражать формулами зависимости между величи- нами

При разработке рабочей программы в тематическом планировании должны быть учтены возмож- ности использования электронных (цифровых) образовательных ресурсов, являющихся учебно-мето- дическими материалами (мультимедийные программы, электронные учебники и задачники, элек- тронные библиотеки, виртуальные лаборатории, игровые программы, коллекции цифровых образо- вательных ресурсов), используемыми для обучения и воспитания различных групп пользователей, представленными в электронном (цифровом) виде и реализующими дидактические возможности ИКТ, содержание которых соответствует законодательству об образовании.
 
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ». 79 КЛАССЫ

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит», — писал великий русский ученый Михаил Василье- вич Ломоносов. И в этом состоит одна из двух целей обучения геометрии как составной части математики в школе. Этой цели соответствует доказательная линия преподавания геометрии. Следуя представленной рабочей программе, начиная с седьмого класса на уроках геометрии обучающийся учится проводить до- казательные рассуждения, строить логические умозаключения, доказывать истинные утверждения и строить контрпримеры к ложным, проводить рассуждения «от противного», отличать свойства от признаков, формулировать обратные утверждения. Ученик, овладевший искусством рассуждать, будет применять его и в окружающей жизни. Как писал геометр и педагог Игорь Федорович Шарыгин, «людьми, понимающими, что такое до- казательство, трудно и даже невозможно манипулировать». И в этом состоит важное воспитательное значение изучения геоме- трии, присущее именно отечественной математической школе. Вместе с тем авторы программы предостерегают учителя от излишнего формализма, особенно в отношении начал и основа- ний геометрии. Французский математик Жан Дьедонне по это- му поводу высказался так: «Что касается деликатной проблемы введения «аксиом», то мне кажется, что на первых порах нуж- но вообще избегать произносить само это слово. С другой же стороны, не следует упускать ни одной возможности давать примеры логических заключений, которые куда в большей ме- ре, чем идея аксиом, являются истинными и единственными
двигателями математического мышления».
Второй целью изучения геометрии является использование её как инструмента при решении как математических, так и практических задач, встречающихся в реальной жизни. Окон- чивший курс геометрии школьник должен быть в состоянии определить геометрическую фигуру, описать словами данный чертёж или рисунок, найти площадь земельного участка, рас- считать необходимую длину оптоволоконного кабеля или тре- буемые размеры гаража для автомобиля. Этому соответствует вторая, вычислительная линия в изучении геометрии в школе. Данная практическая линия является не менее важной, чем

70    Примерная рабочая программа
 
первая. Ещё Платон предписывал, чтобы «граждане Прекрас- ного города ни в коем случае не оставляли геометрию, ведь не- маловажно даже побочное её применение — в военном деле да, впрочем, и во всех науках — для лучшего их усвоения: мы ведь знаем, какая бесконечная разница существует между человеком причастным к геометрии и непричастным». Для этого учителю рекомендуется подбирать задачи практического характера для рассматриваемых тем, учить детей строить математические мо- дели реальных жизненных ситуаций, проводить вычисления и оценивать адекватность полученного результата. Крайне важно подчёркивать связи геометрии с другими предметами, мотиви- ровать использовать определения геометрических фигур и по- нятий, демонстрировать применение полученных умений в фи- зике и технике. Эти связи наиболее ярко видны в темах «Век- торы», «Тригонометрические соотношения»,«Метод координат» и «Теорема Пифагора».
В заключение сошлёмся на великого математика и астронома Иоганна Кеплера, чтобы ещё раз подчеркнуть и метапредмет- ное, и воспитательное значение геометрии: “Geometria una et aeterna est in mente Dei refulgens: cuius consortium hominibus tributum inter causas est, cur homo sit imago Dei”1.

МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 7—9 классах изучается учебный курс «Геометрия», который включает следующие основные раз- делы содержания: «Геометрические фигуры и их свойства»,
«Измерение геометрических величин», а также «Декартовы координаты на плоскости», «Векторы», «Движения плоскости» и «Преобразования подобия».
Учебный план предусматривает изучение геометрии на базо- вом уровне, исходя из не менее 68 учебных часов в учебном году, всего за три года обучения — не менее 204 часов.

1 Геометрия едина и вечна, она блистает в Божьем духе. Наша при- частность к ней служит одним из оснований, по которым человек должен быть образом Божьим (http://www.astro-cabinet.ru/library/ Kepler/Tab_1.htm)

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    71
 
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7    класс
Начальные понятия геометрии. Точка, прямая, отрезок, луч. Угол. Виды углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектри- са угла. Ломаная, многоугольник. Параллельность и перпенди- кулярность прямых.
Симметричные фигуры. Основные свойства осевой симме- трии. Примеры симметрии в окружающем мире.
Основные построения с помощью циркуля и линейки. Треугольник. Высота, медиана, биссектриса, их свойства.
Равнобедренный и равносторонний треугольники. Неравенство треугольника.
Свойства и признаки равнобедренного треугольника. При- знаки равенства треугольников.
Свойства и признаки параллельных прямых. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника.
Прямоугольный треугольник. Свойство медианы прямо- угольного треугольника, проведённой к гипотенузе. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Прямоугольный тре- угольник с углом в 30 .
Неравенства в геометрии: неравенство треугольника, нера- венство о длине ломаной, теорема о большем угле и большей стороне треугольника. Перпендикуляр и наклонная.
Геометрическое место точек. Биссектриса угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
Окружность и круг, хорда и диаметр, их свойства. Взаимное расположение окружности и прямой. Касательная и секущая к окружности. Окружность, вписанная в угол. Вписанная и опи- санная окружности треугольника.
8    класс
Четырёхугольники. Параллелограмм, его признаки и свой- ства. Частные случаи параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и свойства. Трапеция, равнобокая тра- пеция, её свойства и признаки. Прямоугольная трапеция.
Метод удвоения медианы. Центральная симметрия. Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках.
Средние линии треугольника и трапеции. Центр масс треуголь- ника.
Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки по- добия треугольников. Применение подобия при решении прак- тических задач.

72    Примерная рабочая программа
 
Свойства площадей геометрических фигур. Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Отношение площадей подобных фигур.
Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге.
Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора при ре- шении практических задач.
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треу- гольника. Основное тригонометрическое тождество. Тригономе- трические функции углов в 30 , 45 и 60 .
Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой. Углы между хордами и секущими. Вписанные и опи- санные четырёхугольники. Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям.
9 класс
Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180 . Основное триго- нометрическое тождество. Формулы приведения.
Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема сину- сов. Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов.
Преобразование подобия. Подобие соответственных элемен- тов.
Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведе- нии отрезков секущих, теорема о квадрате касательной.
Вектор, длина (модуль) вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы, коллинеарность век- торов, равенство векторов, операции над векторами. Разложе- ние вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, применение для нахождения длин и углов.
Декартовы координаты на плоскости. Уравнения прямой и окружности в координатах, пересечение окружностей и пря- мых. Метод координат и его применение.
Правильные многоугольники. Длина окружности. Градусная и радианная мера угла, вычисление длин дуг окружностей. Площадь круга, сектора, сегмента.
Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные представления). Параллельный перенос. Пово- рот.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    73
 
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Геометрия» на уровне основного общего образования должно обеспечивать достижение следую- щих предметных образовательных результатов:
7 класс
6 Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фи- гуры; выполнять чертежи по условию задачи. Измерять ли- нейные и угловые величины. Решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов.
6 Делать грубую оценку линейных и угловых величин предме- тов в реальной жизни, размеров природных объектов. Раз- личать размеры этих объектов по порядку величины.
6 Строить чертежи к геометрическим задачам.
6 Пользоваться признаками равенства треугольников, исполь- зовать признаки и свойства равнобедренных треугольников при решении задач.
6 Проводить логические рассуждения с использованием геоме- трических теорем.
6 Пользоваться признаками равенства прямоугольных треу- гольников, свойством медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, в решении геометрических за- дач.
6 Определять параллельность прямых с помощью углов, кото- рые образует с ними секущая. Определять параллельность прямых с помощью равенства расстояний от точек одной пря- мой до точек другой прямой.
6 Решать задачи на клетчатой бумаге.
6 Проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и многоугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Решать практические задачи на нахожде- ние углов.
6 Владеть понятием геометрического места точек. Уметь опре- делять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к от- резку как геометрические места точек.
6 Формулировать определения окружности и круга, хорды и диаметра окружности, пользоваться их свойствами. Уметь применять эти свойства при решении задач.

74    Примерная рабочая программа
 
6 Владеть понятием описанной около треугольника окружно- сти, уметь находить её центр. Пользоваться фактами о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
6 Владеть понятием касательной к окружности, пользоваться теоремой о перпендикулярности касательной и радиуса, про- ведённого к точке касания.
6 Пользоваться простейшими геометрическими неравенства- ми, понимать их практический смысл.
6 Проводить основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

8    класс
6 Распознавать основные виды четырёхугольников, их элемен- ты, пользоваться их свойствами при решении геометриче- ских задач.
6 Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач.
6 Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональ- ных отрезках, применять их для решения практических задач.
6 Применять признаки подобия треугольников в решении гео- метрических задач.
6 Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометриче- ских и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и на- ходить соответствующие длины.
6 Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятия- ми для решения практических задач.
6 Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практиче- ских задачах.
6 Владеть понятиями вписанного и центрального угла, исполь- зовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (се- кущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач.
6 Владеть понятием описанного четырёхугольника, применять свойства описанного четырёхугольника при решении задач.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    75
 
6 Применять полученные знания на практике — строить мате- матические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и три- гонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
9    класс
6 Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные элементы прямоугольного треу- гольника («решение прямоугольных треугольников»). Нахо- дить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетаблич- ных значений.
6 Пользоваться формулами приведения и основным тригоно- метрическим тождеством для нахождения соотношений меж- ду тригонометрическими величинами.
6 Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника («решение треугольни- ков»), применять их при решении геометрических задач.
6 Владеть понятиями преобразования подобия, соответствен- ных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и на- ходить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире.
6 Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной.
6 Пользоваться векторами, понимать их геометрический и фи- зический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение век- торов для нахождения длин и углов.
6 Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении геометрических и практических задач.
6 Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять по- лученные умения в практических задачах.
6 Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях.
6 Применять полученные знания на практике — строить мате- матические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и три- гонометрических функций (пользуясь, где необходимо, каль- кулятором).

76    Примерная рабочая программа
 

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7    класс (не менее 68 ч)

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
Простейшие    Простейшие геометрические объ-    Формулировать основные понятия и определе-
геометрические    екты: точки, прямые, лучи и    ния.
фигуры    углы, многоугольник, ломаная.    Распознавать изученные геометрические фигу-
и их свойства.    Смежные и вертикальные углы.    ры, определять их взаимное расположение,
Измерение    Работа с простейшими чертежами.    выполнять чертёж по условию задачи.
геометрических    Измерение линейных и угловых    Проводить простейшие построения с помощью
величин    величин, вычисление отрезков и    циркуля и линейки.
(14 ч)    углов.
Периметр и площадь фигур, со-    Измерять линейные и угловые величины гео-
метрических и практических объектов.
    ставленных из прямоугольников    Определять «на глаз» размеры реальных объ-
        ектов, проводить грубую оценку их размеров.
        Решать задачи на вычисление длин отрезков и
        величин углов.
        Решать задачи на взаимное расположение гео-
        метрических фигур.
        Проводить классификацию углов, вычислять
        линейные и угловые величины, проводить не-
        обходимые доказательные рассуждения.
        Знакомиться с историей развития геометрии
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
Треугольники (22 ч)    Понятие о равных треугольниках и первичные представления о рав- ных (конгруэнтных) фигурах. Три признака равенства треугольни- ков.
Признаки равенства прямоуголь- ных треугольников. Свойство ме- дианы прямоугольного треуголь- ника.
Равнобедренные и равносторон- ние треугольники. Признаки и свойства равнобедренного треу- гольника.
Против большей стороны треу- гольника лежит больший угол. Простейшие неравенства в геоме- трии. Неравенство треугольника. Неравенство ломаной.
Прямоугольный треугольник с углом в 30 .
Первые понятия о доказатель- ствах в геометрии    Распознавать пары равных треугольников на готовых чертежах (с указанием признаков).
Выводить следствия (равенств соответствую- щих элементов) из равенств треугольников.
Формулировать определения: остроугольного, тупоугольного, прямоугольного, равнобедрен- ного, равностороннего треугольников; биссек- трисы, высоты, медианы треугольника; сере- динного перпендикуляра отрезка; периметра треугольника.
Формулировать свойства и признаки равнобе- дренного треугольника.
Строить чертежи, решать задачи с помощью на- хождения равных треугольников.
Применять признаки равенства прямоугольных треугольников в задачах.
Использовать цифровые ресурсы для исследо- вания свойств изучаемых фигур.
Знакомиться с историей развития геометрии
Параллельные прямые, сумма углов треугольника (14 ч)    Параллельные прямые, их свой- ства, Пятый постулат Евклида. Накрест лежащие, соответствен- ные и односторонние углы (обра-    Формулировать понятие параллельных пря- мых, находить практические примеры.
Изучать свойства углов, образованных при пе- ресечении параллельных прямых секущей.
 

    зованные при пересечении парал- лельных прямых секущей).
Признак параллельности прямых через равенство расстояний от то- чек одной прямой до второй пря- мой.
Сумма углов треугольника и мно- гоугольника.
Внешние углы треугольника    Проводить доказательства параллельности двух прямых с помощью углов, образованных при пересечении этих прямых третьей прямой. Вычислять сумму углов треугольника и много- угольника.
Находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с использовани- ем теорем о сумме углов треугольника и много- угольника.
Знакомиться с историей развития геометрии
Окружность и круг.
Геометрические построения
(14 ч)    Окружность, хорды и диаметры, их свойства. Касательная к окруж- ности. Окружность, вписанная в угол. Понятие о ГМТ, применение в задачах. Биссектриса и середин- ный перпендикуляр как геоме- трические места точек.
Окружность, описанная около треугольника. Вписанная в треу- гольник окружность.
Простейшие задачи на построение    Формулировать определения: окружности, хор- ды, диаметра и касательной к окружности. Из- учать их свойства, признаки, строить чертежи. Исследовать, в том числе используя цифровые ресурсы: окружность, вписанную в угол; центр окружности, вписанной в угол; равенство отрез- ков касательных.
Использовать метод ГМТ для доказательства теорем о пересечении биссектрис углов треу- гольника и серединных перпендикуляров к сто- ронам треугольника с помощью ГМТ. Овладевать понятиями вписанной и описанной окружностей треугольника, находить центры этих окружностей.
Решать основные задачи на построение: угла, равного данному; серединного перпендикуляра данного отрезка; прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной пря- мой; биссектрисы данного угла; треугольников по различным элементам.
Знакомиться с историей развития геометрии
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
Повторение, обоб-    Повторение и обобщение основ-    Решать задачи на повторение, иллюстрирую-
щение    ных понятий и методов курса    щие связи между различными частями курса
знаний    7 класса    
(4 ч)        

8    класс (не менее 68 ч)

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
Четырёхугольники (12 ч)    Параллелограмм, его признаки и свойства. Частные случаи парал- лелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и свойства. Трапеция. Равнобокая и прямоугольная трапеции.
Удвоение медианы. Центральная симметрия    Изображать и находить на чертежах четырёх- угольники разных видов и их элементы.
Формулировать определения: параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции, равнобокой трапеции, прямоугольной трапеции. Доказывать и использовать при решении задач признаки и свойства: параллелограмма, прямо- угольника, ромба, квадрата, трапеции, равно- бокой трапеции, прямоугольной трапеции.
Применять метод удвоения медианы треуголь- ника.
Использовать цифровые ресурсы для исследо- вания свойств изучаемых фигур.
Знакомиться с историей развития геометрии
 

Теорема Фалеса и теорема о про- порциональных отрезках, подоб-
ные треугольники (15 ч)    Теорема Фалеса и теорема о про- порциональных отрезках.
Средняя линия треугольника. Трапеция, её средняя линия.
Пропорциональные отрезки, по- строение четвёртого пропорцио- нального отрезка.
Свойства центра масс в треуголь- нике.
Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников. Практическое применение    Проводить построения с помощью циркуля и линейки с использование теоремы Фалеса и те- оремы о пропорциональных отрезках, строить четвёртый пропорциональный отрезок.
Проводить доказательство того, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и на- ходить связь с центром масс, находить отноше- ние, в котором медианы делятся точкой их пере- сечения.
Находить подобные треугольники на готовых чертежах с указанием соответствующих призна- ков подобия.
Решать задачи на подобные треугольники с по- мощью самостоятельного построения чертежей и нахождения подобных треугольников.
Проводить доказательства с использованием признаков подобия.
Доказывать три признака подобия треугольни- ков.
Применять полученные знания при решении геометрических и практических задач.
Знакомиться с историей развития геометрии
Площадь. Нахождение площадей треугольников
и многоугольных фигур. Площади подобных фигур (14 ч)    Понятие об общей теории пло- щади.
Формулы для площади треуголь- ника, параллелограмма. Отноше- ние площадей треугольников с общим основанием или общей высотой.    Овладевать первичными представлениями об общей теории площади (меры), формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл.
Выводить формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции из формулы площади прямоугольника (квадрата).
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
    Вычисление площадей сложных фигур через разбиение на части и достроение.
Площади фигур на клетчатой бу- маге.
Площади подобных фигур. Вы- числение площадей. Задачи с практическим содержанием. Ре- шение задач с помощью метода вспомогательной площади    Выводить формулы площади выпуклого четырёх- угольника через диагонали и угол между ними. Находить площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, использовать разбиение на части и достроение.
Разбирать примеры использования вспомога- тельной площади для решения геометрических задач.
Находить площади подобных фигур. Вычислять площади различных многоугольных фигур.
Решать задачи на площадь с практическим со- держанием
Теорема Пифагора и начала тригонометрии
(10 ч)    Теорема Пифагора, её доказатель- ство и применение. Обратная тео- рема Пифагора.
Определение тригонометрических функций острого угла, тригономе- трические соотношения в прямо- угольном треугольнике. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках с углами в 45 и 45 ; 30 и 60     Доказывать теорему Пифагора, использовать
её в практических вычислениях. Формулировать определения тригонометриче- ских функций острого угла, проверять их кор- ректность.
Выводить тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
Исследовать соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках с углами в 45° и 45°; 30° и 60°.
Использовать формулы приведения и основное тригонометрическое тождество для нахождения
 

        соотношений между тригонометрическими функ- циями различных острых углов.
Применять полученные знания и умения при решении практических задач.
Знакомиться с историей развития геометрии
Углы в окружно-    Вписанные и центральные углы,    Формулировать основные определения, связан-
сти. Вписанные    угол между касательной и хордой.    ные с углами в круге (вписанный угол, цен-
и описанные    Углы между хордами и секущи-    тральный угол).
четырехугольники.    ми.    Находить вписанные углы, опирающиеся на од-
Касательные    Вписанные и описанные четырёх-    ну дугу, вычислять углы с помощью теоремы о
к окружности.    угольники, их признаки и свой-    вписанных углах, теоремы о вписанном четы-
Касание окружно-    ства. Применение этих свойств    рёхугольнике, теоремы о центральном угле.
стей    при решении геометрических за-    Исследовать, в том числе с помощью цифровых
(13 ч)    дач.
Взаимное    расположение    двух    ресурсов, вписанные и описанные четырёх-
угольники, выводить их свойства и признаки.
    окружностей. Касание окружно-    Использовать эти свойства и признаки при ре-
    стей    шении задач
Повторение, обоб-    Повторение основных понятий и    Решать задачи на повторение, иллюстрирую-
щение    методов курсов 7 и 8 классов,    щие связи между различными частями курса
знаний    обобщение знаний    
(4 ч)        
 
9    класс (не менее 68 ч)

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
Тригонометрия.    Определение тригонометрических    Формулировать определения тригонометриче-
Теоремы косину-    функций углов от 0  до 180 .    ских функций тупых и прямых углов.
сов и синусов.    Косинус и синус прямого и тупого    Выводить теорему косинусов и теорему синусов
Решение треуголь-    угла. Теорема косинусов. (Обоб-    (с радиусом описанной окружности).
ников    щённая) теорема синусов (с ради-    Решать треугольники.
(16 ч)    усом описанной окружности). На-
хождение длин сторон и величин    Решать практические задачи, сводящиеся к на-
хождению различных элементов треугольника
    углов треугольников.    
    Формула площади треугольника    
    через две стороны и угол между    
    ними. Формула площади четы-    
    рёхугольника через его диагонали    
    и угол между ними.    
    Практическое применение дока-    
    занных теорем    
Преобразование    Понятие о преобразовании подо-    Осваивать понятие преобразования подобия.
подобия. Метриче-    бия.    Исследовать отношение линейных элементов
ские соотношения    Соответственные элементы подоб-    фигур при преобразовании подобия. Находить
в окружности    ных фигур.    примеры подобия в окружающей действитель-
(10 ч)    Теорема о произведении отрезков
хорд, теорема о произведении от-    ности.
Выводить метрические соотношения между от-
    резков секущих, теорема о ква-    резками хорд, секущих и касательных с исполь-
    драте касательной. Применение в    зованием вписанных углов и подобных треу-
    решении геометрических задач    гольников.
 

        Решать геометрические задачи и задачи из ре- альной жизни с использованием подобных тре- угольников
Векторы (12 ч)    Определение векторов, сложение и разность векторов, умножение вектора на число.
Физический и геометрический смысл векторов.
Разложение вектора по двум не- коллинеарным векторам. Коорди- наты вектора.
Скалярное произведение векто- ров, его применение для нахожде- ния длин и углов.
Решение задач с помощью векто- ров.
Применение векторов для реше- ния задач кинематики и механи- ки    Использовать векторы как направленные отрез- ки, исследовать геометрический (перемещение) и физический (сила) смыслы векторов.
Знать определения суммы и разности векторов, умножения вектора на число, исследовать гео- метрический и физический смыслы этих опера- ций.
Решать геометрические задачи с использовани- ем векторов.
Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам.
Использовать скалярное произведение векто- ров, выводить его основные свойства.
Вычислять сумму, разность и скалярное произ- ведение векторов в координатах.
Применять скалярное произведение для нахож- дения длин и углов
Декартовы коорди- наты на плоскости (9 ч)    Декартовы координаты точек на плоскости.
Уравнение прямой. Угловой коэф- фициент, тангенс угла наклона, параллельные и перпендикуляр- ные прямые.
Уравнение окружности. Нахожде- ние координат точек пересечения окружности и прямой.    Осваивать понятие прямоугольной системы ко- ординат, декартовых координат точки.
Выводить уравнение прямой и окружности. Вы- делять полный квадрат для нахождения центра и радиуса окружности по её уравнению.
Решать задачи на нахождение точек пересече- ния прямых и окружностей с помощью метода координат.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
    Метод координат при решении геометрических задач.
Использование метода координат в практических задачах    Использовать свойства углового коэффициента прямой при решении задач, для определения расположения прямой.
Применять координаты при решении геометри- ческих и практических задач, для построения математических моделей реальных задач («ме- тод координат»).
Пользоваться для построения и исследований цифровыми ресурсами.
Знакомиться с историей развития геометрии
Правильные    Правильные    многоугольники,    Формулировать определение правильных мно-
многоугольники.    вычисление их элементов. Число    гоугольников, находить их элементы.
     и длина окружности. Длина ду-    Пользоваться  понятием длины окружности,
Длина окружности        
и площадь круга.    ги окружности. Радианная мера    введённым с помощью правильных многоуголь-
        ников, определять число , длину дуги и ради-
Вычисление пло-    угла.    
щадей    Площадь круга и его элементов    анную меру угла.
(8 ч)    (сектора и сегмента). Вычисление
площадей фигур, включающих    Проводить переход от радианной меры угла к
градусной и наоборот.
    элементы круга    Определять площадь круга.
        Выводить формулы (в градусной и радианной
        мере) для длин дуг, площадей секторов и сег-
        ментов.
        Вычислять площади фигур, включающих эле-
        менты окружности (круга).
        Находить площади в задачах реальной жизни
 
Движения плоско- сти
(6 ч)    Понятие о движении плоскости. Параллельный перенос, поворот и симметрия. Оси и центры симме- трии.
Простейшие применения в реше- нии задач    Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения, центров и осей симметрии.
Формулировать определения параллельного пе- реноса, поворота и осевой симметрии. Выводить их свойства, находить неподвижные точки.
Находить центры и оси симметрий простейших фигур.
Применять параллельный перенос и симме- трию при решении геометрических задач (раз- бирать примеры).
Использовать для построения и исследований цифровые ресурсы
Повторение, обоб- щение, системати- зация знаний2
(7 ч)    Повторение основных понятий и методов курсов 7—9 классов, обоб- щение и систематизация знаний. Простейшие геометрические фи- гуры и их свойства. Измерение геометрических величин.
Треугольники.
Параллельные и перпендикуляр- ные прямые.
Окружность и круг. Геометриче- ские построения. Углы в окруж- ности. Вписанные и описанные окружности  многоугольников.    Оперировать понятиями: фигура, точка, пря- мая, угол, многоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольный треугольник, медиана, биссектриса и высота треугольника, параллелограмм, ромб, прямо- угольник, квадрат, трапеция; окружность, каса- тельная; равенство и подобие фигур, треуголь- ников; параллельность и перпендикулярность прямых, угол между прямыми, симметрия от- носительно точки и прямой; длина, расстояние, величина угла, площадь, периметр.
Использовать формулы: периметра и площади многоугольников, длины окружности и площа-

2 Здесь представлены элементы содержания курса, изучавшиеся в 5—8 клас- сах и требующие повторения, обобщения и систематизации. Обращаться к этому материалу можно в виде акцента на завершающем этапе изучения курса 9 класса или распределять по соответствующим тематическим раз- делам, изучаемым в течение учебного года.
 
Продолжение

Название раздела (темы)
курса (число часов)    
Основное содержание    Основные виды деятельности обучающихся
    Прямая и окружность. Четырёхугольники. Вписанные и описанные четырехугольники.
Теорема Пифагора и начала три- гонометрии. Решение общих тре- угольников.
Правильные многоугольники. Преобразования плоскости. Дви- жения. Подобие. Симметрия.
Площадь. Вычисление площадей. Площади подобных фигур.
Декартовы координаты на пло- скости.
Векторы на плоскости    ди круга, объёма прямоугольного параллелепи- педа.
Оперировать понятиями: прямоугольная систе- ма координат, вектор; использовать эти поня- тия для представления данных и решения за- дач, в том числе из других учебных предметов. Решать задачи на повторение основных поня- тий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи.
Решать задачи из повседневной жизни

При разработке рабочей программы в тематическом планировании должны быть учтены возмож- ности использования электронных (цифровых) образовательных ресурсов, являющихся учебно-мето- дическими материалами (мультимедийные программы, электронные учебники и задачники, элек- тронные библиотеки, виртуальные лаборатории, игровые программы, коллекции цифровых образо- вательных ресурсов), используемыми для обучения и воспитания различных групп пользователей, представленными в электронном (цифровом) виде и реализующими дидактические возможности ИКТ, содержание которых соответствует законодательству об образовании.
 
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА». 79 КЛАССЫ

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
В современном цифровом мире вероятность и статистика при- обретают всё большую значимость, как с точки зрения практи- ческих приложений, так и их роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка в области вероятности и статистики, такая подготовка важна для про- должения образования и для успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у него данных. А для обоснованного принятия ре- шения в условиях недостатка или избытка информации необ- ходимо в том числе хорошо сформированное вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве неотъемлемой составляющей умение восприни- мать и критически анализировать информацию, представлен- ную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей, производить про- стейшие вероятностные расчёты. Знакомство с основными принципами сбора, анализа и представления данных из различ- ных сфер жизни общества и государства приобщает обучающих- ся к общественным интересам. Изучение основ комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчёта числа ва- риантов, в том числе, в прикладных задачах. Знакомство с ос- новами теории графов создаёт математический фундамент для формирования компетенций в области информатики и цифро- вых технологий. Помимо этого, при изучении статистики и ве- роятности обогащаются представления учащихся о современ- ной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышле- ния.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного курса «Вероятность и статистика» основной школы

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    89
 
выделены следующие содержательно-методические линии:
«Представление данных и описательная статистика»; «Вероят- ность»; «Элементы комбинаторики»; «Введение в теорию гра- фов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика» служит основой для формирования навыков рабо- ты с информацией: от чтения и интерпретации информации, представленной в таблицах, на диаграммах и графиках до сбо- ра, представления и анализа данных с использованием стати- стических характеристик средних и рассеивания. Работая с дан- ными, обучающиеся учатся считывать и интерпретировать дан- ные, выдвигать, аргументировать и критиковать простейшие гипотезы, размышлять над факторами, вызывающими измен- чивость, и оценивать их влияние на рассматриваемые величи- ны и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, ис- следование закономерностей и тенденций становится мотивиру- ющей основой для изучения теории вероятностей. Большое зна- чение здесь имеют практические задания, в частности опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия слу- чайного события. При изучении курса обучающиеся знакомят- ся с простейшими методами вычисления вероятностей в слу- чайных экспериментах с равновозможными элементарными исходами, вероятностными законами, позволяющими ставить и решать более сложные задачи. В курс входят начальные пред- ставления о случайных величинах и их числовых характеристи- ках.
Также в рамках этого курса осуществляется знакомство обу- чающихся с множествами и основными операциями над мно- жествами, рассматриваются примеры применения для решения задач, а также использования в других математических курсах и учебных предметах.

МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В 7—9 классах изучается курс «Вероятность и статистика», в который входят разделы: «Представление данных и описа- тельная статистика»; «Вероятность»; «Элементы комбинатори- ки»; «Введение в теорию графов».
На изучение данного курса отводит 1 учебный час в неделю в течение каждого года обучения, всего 102 учебных часа.

90    Примерная рабочая программа
 
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7    класс
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение таблиц, чтение и построение диаграмм (столбико- вых (столбчатых) и круговых). Чтение графиков реальных про- цессов. Извлечение информации из диаграмм и таблиц, исполь- зование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах, наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероят- ность и частота. Роль маловероятных и практически достовер- ных событий в природе и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и сум- марная степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном графе. Решение задач с помощью графов.

8    класс
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Множество, элемент множества, подмножество. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций над множествами: переместительное, соче- тательное, распределительное, включения. Использование гра- фического представления множеств для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные собы- тия. Вероятности событий. Опыты с равновозможными элемен- тарными событиями. Случайный выбор. Связь между малове- роятными и практически достоверными событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существова- ние висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило умножения. Решение задач с помощью графов. Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объедине- ние и пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Условная вероятность. Правило умно-

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    91
 
жения. Независимые события. Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на нахождение вероятностей с по- мощью дерева случайного эксперимента, диаграмм Эйлера.
9    класс
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля. Решение задач с использованием комби- наторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фи- гуры на плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в се- рии испытаний Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Матема- тическое ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
«число успехов в серии испытаний Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Предметные результаты освоения курса «Вероятность и ста- тистика» в 7—9 классах характеризуются следующими умени- ями.
7 класс
6 Читать информацию, представленную в таблицах, на диа- граммах; представлять данные в виде таблиц, строить диа- граммы (столбиковые (столбчатые) и круговые) по массивам значений.
6 Описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
6 Использовать для описания данных статистические характе- ристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.

92    Примерная рабочая программа
 
6 Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен, физических величин, антропометрических данных; иметь представление о статистической устойчивости.
8    класс
6 Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
6 Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
6 Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений.
6 Находить вероятности случайных событий в опытах, зная ве- роятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями.
6 Использовать графические модели: дерево случайного экспе- римента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
6 Оперировать понятиями: множество, подмножество; выпол- нять операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение; перечислять элементы множеств; применять свойства множеств.
6 Использовать графическое представление множеств и связей между ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из других учебных предметов и курсов.
9    класс
6 Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
6 Решать задачи организованным перебором вариантов, а так- же с использованием комбинаторных правил и методов.
6 Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения и меры рас- сеивания.
6 Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами проведённых измерений и наблюде- ний.
6 Находить вероятности случайных событий в изученных опы- тах, в том числе в опытах с равновозможными элементарны- ми событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в се- риях испытаний Бернулли.

МАТЕМАТИКА. 5—9 классы    93
 
6 Иметь представление о случайной величине и о распределе- нии вероятностей.
6 Иметь представление о законе больших чисел как о проявле- нии закономерности в случайной изменчивости и о роли за- кона больших чисел в природе и обществе.

94    Примерная рабочая программа
 
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7    класс (не менее 34 ч)

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Характеристика деятельности обучающихся
Представление данных
(7 ч)    Представление данных в табли- цах. Практические вычисления по табличным данным. Извлече- ние и интерпретация табличных данных.  Практическая  работа
«Таблицы».
Графическое представление дан- ных в виде круговых, столбико- вых (столбчатых) диаграмм. Чте- ние и построение диаграмм. При- меры демографических диаграмм. Практическая работа «Диаграм- мы»    Осваивать способы представления статистиче- ских данных и числовых массивов с помощью таблиц и диаграмм с использованием актуаль- ных и важных данных (демографические дан- ные, производство промышленной и сельскохо- зяйственной продукции, общественные и при- родные явления).
Изучать методы работы с табличными и графи- ческими представлениями данных с помощью цифровых ресурсов в ходе практических работ
Описательная статистика
(8 ч)    Числовые наборы. Среднее ариф- метическое.
Медиана числового набора. Устой- чивость медианы.
Практическая работа «Средние значения».
Наибольшее и наименьшее значе- ния числового набора. Размах    Осваивать понятия: числовой набор, мера цен- тральной тенденции (мера центра), в том числе среднее арифметическое, медиана.
Описывать статистические данные с помощью среднего арифметического и медианы. Решать задачи.
Изучать свойства средних, в том числе с помо- щью цифровых ресурсов, в ходе практических работ.
 
Продолжение

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Характеристика деятельности обучающихся
        Осваивать понятия: наибольшее и наименьшее значения числового массива, размах.
Решать задачи на выбор способа описания дан- ных в соответствии с природой данных и целя- ми исследования
Случайная измен- чивость
(6 ч)    Случайная изменчивость (приме- ры). Частота значений в массиве данных. Группировка. Гистограм- мы.
Практическая работа «Случайная изменчивость»    Осваивать понятия: частота значений в массиве данных, группировка данных, гистограмма.
Строить и анализировать гистограммы, подби- рать подходящий шаг группировки.
Осваивать графические представления разных видов случайной изменчивости, в том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе практиче- ской работы
Введение в теорию графов
(4 ч)    Граф, вершина, ребро. Представ- ление задачи с помощью графа. Степень (валентность) вершины. Число рёбер и суммарная степень вершин. Цепь и цикл. Путь в гра- фе. Представление о связности графа. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориенти- рованных графах    Осваивать понятия: граф, вершина графа, ре- бро графа, степень (валентность вершины), цепь и цикл.
Осваивать понятия: путь в графе, эйлеров путь, обход графа, ориентированный граф.
Решать задачи на поиск суммы степеней вер- шин графа, на поиск обхода графа, на поиск путей в ориентированных графах.
Осваивать способы представления задач из кур- са алгебры, геометрии, теории вероятностей, других предметов с помощью графов (карты,
 

        схемы, электрические цепи, функциональные соответствия) на примерах
Вероятность и ча- стота случайного события
(4 ч)    Случайный опыт и случайное событие. Вероятность и частота события. Роль маловероятных и практически достоверных собы- тий в природе и в обществе. Мо- нета и игральная кость в теории вероятностей.
Практическая работа «Частота выпадения орла»    Осваивать понятия: случайный опыт и случай- ное событие, маловероятное и практически до- стоверное событие.
Изучать значимость маловероятных событий в природе и обществе на важных примерах (ава- рии, несчастные случаи, защита персональной информации, передача данных).
Изучать роль классических вероятностных мо- делей (монета, игральная кость) в теории веро- ятностей.
Наблюдать и изучать частоту событий в про- стых экспериментах, в том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе практической работы
Обобщение, кон- троль
(5 ч)    Представление данных. Описа- тельная статистика. Вероятность случайного события    Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
Решать задачи на представление и описание данных с помощью изученных характеристик. Обсуждать примеры случайных событий, мало- вероятных и практически достоверных случай- ных событий, их роли в природе и жизни чело- века
 
8    класс (не менее 34 ч)

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Характеристика деятельности обучающихся
Повторение курса 7 класса
(4 ч)    Представление данных. Описа- тельная статистика. Случайная изменчивость. Средние числового набора.
Случайные события. Вероятности и частоты. Классические модели теории вероятностей: монета и игральная кость    Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
Решать задачи на представление и описание данных с помощью изученных характеристик. Решать задачи на представление группирован- ных данных и описание случайной изменчиво- сти.
Решать задачи на определение частоты случай- ных событий, обсуждение примеров случайных событий, маловероятных и практически досто- верных случайных событий, их роли в природе и жизни человека
Описательная ста- тистика. Рассеива- ние данных
(4 ч)    Отклонения. Дисперсия числово- го набора. Стандартное отклоне- ние числового набора. Диаграм- мы рассеивания    Осваивать понятия: дисперсия и стандартное отклонение, использовать эти характеристики для описания рассеивания данных.
Выдвигать гипотезы об отсутствии или нали- чии связи по диаграммам рассеивания.
Строить диаграммы рассеивания по имеющим- ся данным, в том числе с помощью компьютера
Множества (4 ч)    Множество, подмножество. Опе- рации над множествами: объеди- нение, пересечение, дополне- ние.    Осваивать понятия: множество, элемент множе- ства, подмножество.
Выполнять операции над множествами: объе- динение, пересечение, дополнение.
 

    Свойства операций над множе- ствами: переместительное, соче- тательное, распределительное, включения.
Графическое представление мно- жеств    Использовать свойства: переместительное, со- четательное, распределительное, включения. Использовать графическое представление мно- жеств при описании реальных процессов и яв- лений, при решении задач из других учебных предметов и курсов
Вероятность случайного события
(6 ч)    Элементарные события. Случай- ные события. Благоприятствую- щие элементарные события. Веро- ятности событий. Опыты с равно- возможными элементарными событиями. Случайный выбор.
Практическая работа «Опыты с равновозможными элементарны- ми событиями»    Осваивать понятия: элементарное событие, слу- чайное событие как совокупность благоприят- ствующих элементарных событий, равновоз- можные элементарные события.
Решать задачи на вычисление вероятностей со- бытий по вероятностям элементарных событий случайного опыта.
Решать задачи на вычисление вероятностей со- бытий в опытах с равновозможными элементар- ными событиями, в том числе с помощью ком- пьютера.
Проводить и изучать опыты с равновозможны- ми элементарными событиями (с использовани- ем монет, игральных костей, других моделей) в ходе практической работы
Введение в теорию графов
(4 ч)    Дерево. Свойства дерева: един- ственность пути, существование висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило умножения    Осваивать понятия: дерево как граф без цикла, висячая вершина (лист), ветвь дерева, путь в дереве, диаметр дерева.
Изучать свойства дерева: существование вися- чей вершины, единственность пути между дву- мя вершинами, связь между числом вершин и числом рёбер.
 
Продолжение

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Характеристика деятельности обучающихся
        Решать задачи на поиск и перечисление путей в дереве, определение числа вершин или рёбер в дереве, обход бинарного дерева, в том числе с применением правила умножения
Случайные события
(8 ч)    Противоположное событие. Диа- грамма Эйлера. Объединение и пересечение событий. Несовмест- ные события. Формула сложения вероятностей. Правило умноже- ния вероятностей. Условная веро- ятность. Независимые события. Представление случайного экспе- римента в виде дерева    Осваивать понятия: взаимно противоположные события, операции над событиями, объедине- ние и пересечение событий, диаграмма Эйлера (Эйлера—Венна), совместные и несовместные события.
Изучать теоремы о вероятности объединения двух событий (формулы сложения вероятно- стей).
Решать задачи, в том числе текстовые задачи на определение вероятностей объединения и пересечения событий с помощью числовой пря- мой, диаграмм Эйлера, формулы сложения ве- роятностей.
Осваивать понятия: правило умножения веро- ятностей, условная вероятность, независимые события дерево случайного опыта.
Изучать свойства (определения) независимых событий.
Решать задачи на определение и использование независимых событий.
 

        Решать задачи на поиск вероятностей, в том числе условных, с использованием дерева слу- чайного опыта
Обобщение, контроль
(4 ч)    Представление данных. Описа- тельная статистика. Графы. Веро- ятность случайного события. Эле- менты комбинаторики    Повторять изученное и выстраивать систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных с помощью изученных характеристик. Решать задачи с применением графов.
Решать задачи на нахождение вероятности слу- чайного события по вероятностям элементар- ных событий, в том числе в опытах с равновоз- можными элементарными событиями.
Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том чис- ле независимых, с использованием графических представлений и дерева случайного опыта.
Решать задачи на перечисление комбинаций (числа перестановок, числа сочетаний), на на- хождение вероятностей событий с применением комбинаторики, в том числе с использованием треугольника Паскаля
 
9    класс (не менее 34 ч)

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Характеристика деятельности обучающихся
Повторение курса 8 класса
(4 ч)    Представление данных. Описа- тельная статистика. Операции над событиями. Независимость событий    Повторять изученное и выстраивать систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных.
Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том чис- ле независимых, с использованием графических представлений и дерева случайного опыта.
Решать задачи на перечисление комбинаций (числа перестановок, числа сочетаний), на на- хождение вероятностей событий с применением комбинаторики, в том числе с использованием треугольника Паскаля
Элементы комби- наторики
(4 ч)    Комбинаторное правило умноже- ния. Перестановки. Факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля. Практиче- ская работа «Вычисление вероят- ностей с использованием комби- наторных функций электронных таблиц»    Осваивать понятия: комбинаторное правило умножения, упорядоченная пара, тройка объ- ектов, перестановка, факториал числа, сочета- ние, число сочетаний, треугольник Паскаля.
Решать задачи на перечисление упорядоченных пар, троек, перечисление перестановок и соче- таний элементов различных множеств.
Решать задачи на применение числа сочетаний в алгебре (сокращённое умножение, бином Нью- тона).
 

        Решать, применяя комбинаторику, задачи на вычисление вероятностей, в том числе с помо- щью электронных таблиц в ходе практической работы
Геометрическая вероятность
(4 ч)    Геометрическая вероятность. Слу- чайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности    Осваивать понятие геометрической вероятности. Решать задачи на нахождение вероятностей в опытах, представимых как выбор точек из мно- гоугольника, круга, отрезка или дуги окружно- сти, числового промежутка
Испытания Бернулли (6 ч)    Испытание. Успех и неудача. Се- рия испытаний до первого успеха. Испытания Бернулли. Вероятно- сти событий в серии испытаний Бернулли. Практическая работа
«Испытания Бернулли»    Осваивать понятия: испытание, элементарное событие в испытании (успех и неудача), серия испытаний, наступление первого успеха (неуда- чи), серия испытаний Бернулли.
Решать задачи на нахождение вероятностей со- бытий в серии испытаний до первого успеха, в том числе с применением формулы суммы гео- метрической прогрессии.
Решать задачи на нахождение вероятностей элементарных событий в серии испытаний Бер- нулли, на нахождение вероятности определён- ного числа успехов в серии испытаний Бернулли. Изучать в ходе практической работы, в том числе с помощью цифровых ресурсов, свойства вероятности в серии испытаний Бернулли
Случайная величина (6 ч)    Случайная величина и распреде- ление вероятностей. Математи- ческое ожидание и дисперсия случайной величины. Примеры математического ожидания как    Освоить понятия: случайная величина, значе- ние случайной величины, распределение веро- ятностей.
Изучать и обсуждать примеры дискретных и не- прерывных случайных величин (рост, вес чело-
 
Продолжение

Название раздела (темы) (число часов)    
Основное содержание    
Характеристика деятельности обучающихся
    теоретического среднего значения величины.
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помо- щью частот. Применение закона больших чисел    века, численность населения, другие изменчи- вые величины, рассматривавшиеся в курсе ста- тистики), модельных случайных величин, свя- занных со случайными опытами (бросание мо- неты, игральной кости, со случайным выбором и т. п.).
Осваивать понятия: математическое ожидание случайной величины как теоретическое среднее значение, дисперсия случайной величины как аналог дисперсии числового набора.
Решать задачи на вычисление математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины по заданному распределению, в том числе задач, связанных со страхованием и лоте- реями.
Знакомиться с математическим ожиданием и дисперсией некоторых распределений, в том числе  распределения  случайной  величины
«число успехов» в серии испытаний Бернулли. Изучать частоту события в повторяющихся слу- чайных опытах как случайную величину.
Знакомиться с законом больших чисел (в форме Бернулли): при большом числе опытов частота события близка к его вероятности.
Решать задачи на измерение вероятностей с по- мощью частот.
 

        Обсуждать роль закона больших чисел в обосно- вании частотного метода измерения вероятно- стей.
Обсуждать закон больших чисел как проявле- ние статистической устойчивости в изменчивых явлениях, роль закона больших чисел в природе и в жизни человека
Обобщение, контроль (10 ч)    Представление данных. Описа- тельная статистика. Вероятность случайного события. Элементы комбинаторики. Случайные вели- чины и распределения    Повторять изученное и выстраивать систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных.
Решать задачи на нахождение вероятностей со- бытий, в том числе в опытах с равновозможны- ми элементарными событиями, вероятностей объединения и пересечения событий, вычис- лять вероятности в опытах с сериями случай- ных испытаний

При разработке рабочей программы в тематическом планировании должны быть учтены возмож- ности использования электронных (цифровых) образовательных ресурсов, являющихся учебно-мето- дическими материалами (мультимедийные программы, электронные учебники и задачники, элек- тронные библиотеки, виртуальные лаборатории, игровые программы, коллекции цифровых образо- вательных ресурсов), используемыми для обучения и воспитания различных групп пользователей, представленными в электронном (цифровом) виде и реализующими дидактические возможности ИКТ, содержание которых соответствует законодательству об образовании.
 

При разработке рабочей программы в тематическом плани- ровании должны быть учтены возможности использования электронных (цифровых) образовательных ресурсов, являю- щихся учебно-методическими материалами (мультимедийные программы, электронные учебники и задачники, электронные библиотеки, виртуальные лаборатории, игровые программы, коллекции цифровых образовательных ресурсов), используе- мыми для обучения и воспитания различных групп пользова- телей, представленными в электронном (цифровом) виде и ре- ализующими дидактические возможности ИКТ, содержание которых соответствует законодательству об образовании.

МАТЕМАТИКА. 1—4 классы                                                                          63

При разработке рабочей программы в тематическом плани- ровании должны быть учтены возможности использования электронных (цифровых) образовательных ресурсов, являю- щихся учебно-методическими материалами (мультимедийные программы, электронные учебники и задачники, электронные библиотеки, виртуальные лаборатории, игровые программы, коллекции цифровых образовательных ресурсов), используе- мыми для обучения и воспитания различных групп пользова- телей, представленными в электронном (цифровом) виде и ре- ализующими дидактические возможности ИКТ, содержание которых соответствует законодательству об образовании.

МАТЕМАТИКА. 1—4 классы                                                                          63